山西北师版七下期末压轴汇总——陈进步讲数学

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（2025春·夏县期末）综合与探究在$$\triangle AOB$$和$$\triangle COD$$中，$$OA=OB$$，$$OC=OD$$，$$\angle AOB=\angle COD$$．【模型呈现】（1）如图1，$$A$$，$$O$$，$$D$$三点共线，试判断$$AC$$与$$BD$$的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，设$$AC$$，$$BD$$相交于点$$P$$，$$AC$$，$$OB$$相交于点$$Q$$，若$$\angle AOB=50^\circ$$，求$$\angle APD$$的度数．【拓展延伸】（3）如图3，$$\angle AOB=\angle COD=90^\circ$$，$$M$$，$$N$$分别为$$AC$$，$$BD$$的中点，连接$$OM$$，$$ON$$，$$MN$$，试说明$$OM=ON$$且$$OM\perp ON$$．（含图）

（2025春·夏县期末）问题呈现：（1）如图1，$$BD$$是$$\text{Rt}\triangle ABC$$的一条角平分线，$$DE\perp AB$$，垂足为$$E$$．你认为$$DE$$与$$DC$$相等吗？并说明理由．方法应用：（2）①如图2，在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$\angle A=90^\circ$$，$$BD$$是$$\triangle ABC$$的角平分线，过点$$D$$作$$DE\perp BC$$，若$$AC=8$$，$$CD=5$$，则$$DE$$的长为$$\underline{\quad}$$． ②如图3，在$$\triangle ABC$$中，$$AD$$为$$\angle BAC$$的平分线，$$DE\perp AB$$于点$$E$$，$$DF\perp AC$$于点$$F$$，若$$\triangle ABC$$的面积是72，$$AB=13$$，$$AC=11$$，求$$DE$$的长．（含图）

（2025春·河津市期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：等边五边形与正五边形（1）等边五边形的定义：平面内五条边相等的五边形叫做等边五边形. 正五边形的定义：平面内五条边相等，五个内角也相等的五边形叫做正五边形. （2）概念辨析根据定义我们知道正五边形一定是等边五边形，反之，等边五边形是否是正五边形呢？为了弄清这个问题，同学们拿了五根长度相等的细木条，在同一平面内首尾顺次相接，摆成等边五边形. ①操作判断如图1，笃行小组的同学摆出了一些形状不同的等边五边形，他们通过动手操作发现等边五边形具有不稳定性，从而得出结论：等边五边形不一定是正五边形. ②强化条件笃行小组的同学继续探究发现：等边五边形中若有两个内角相等，则这个等边五边形也不一定是正五边形；如果有三个内角相等呢？他们发现有三个内角相等的等边五边形一定是正五边形. 他们的探究思路是：已知等边五边形的三个内角相等，如何说明剩余的两个内角与它们相等呢？在等边五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，若∠A=∠B=∠D，则等边五边形ABCDE是正五边形. 如图2，于是连接BE，CE，发现一对全等三角形… 这样就可以说明第四个内角与前三个内角相等；同样的道理可得第五个内角也与前三个内角相等； ∴等边五边形ABCDE是正五边形. （3）性质探究笃行小组的同学还发现：等边五边形不一定是轴对称图形，而正五边形一定是轴对称图形；… 任务：（1）请按照笃行小组的探究思路将说理过程补充完整；（2）请你利用无刻度的直尺在图3中画出正五边形ABCDE的一条对称轴.（保留作图痕迹）（含图）

（2025春·河津市期末）问题情境：如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点. 独立思考：（1）如图2，当点D是BC边的中点时，AD⊥BC，请说明理由；操作思考：（2）如图3，点E为射线AD上任意一点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，其中点E，F在直线AC同侧，射线BF交射线AD于点G. ①判断AE与BF的数量关系，并说明理由； ②当点D是BC边的中点时，且在△EFG中∠GFE=4∠GEF，请直接写出∠GEF的度数.（含图）

（2024春·芮城县期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，直线$$l$$过点$$A$$，点$$D$$，$$E$$是直线$$l$$上两点．独立思考：（1）如图1，当直线$$l$$在$$\triangle ABC$$的外部，满足$$\angle BDA=\angle CEA=\angle BAC$$时，试探究线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：（2）如图2，当直线$$l$$经过$$\triangle ABC$$的内部，交$$BC$$于点$$M$$，且$$\angle BAM<\angle CAM$$，满足$$\angle BDM=\angle CEM=\angle BAC$$时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线$$l$$经过$$\triangle ABC$$的内部，交$$BC$$于点$$M$$，且$$\angle BAM>\angle CAM$$，满足$$\angle BDM=\angle CEM=\angle BAC$$时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段$$BD$$，$$CE$$与$$DE$$之间的数量关系．（含图）（含图）（含图）

（2024春·盐湖区期末）综合与探究在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，点$$D$$是直线$$BC$$上一点，连接$$AD$$，以$$AD$$为边向右作$$\triangle ADE$$，使得$$AD=AE$$，$$\angle DAE=\angle BAC=\alpha$$，连接$$CE$$．（1）当点$$D$$在$$BC$$边上时， ①如图1，若$$\alpha=90^\circ$$，则$$\angle DCE=$$______； ②如图2，若$$\alpha=40^\circ$$，则$$\angle DCE=$$______； ③观察以上结果，猜想$$\angle BAC$$与$$\angle DCE$$的数量关系，并利用图3说明理由．（2）当点$$D$$在$$BC$$的延长线上时，如图4，请直接写出$$\angle BAC$$与$$\angle DCE$$的数量关系．（含图）（含图）（含图）（含图）

（2024春·盐湖区期末）综合与实践问题情境：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle ADE$$中，$$AB=AC$$，$$AD=AE$$，$$AD$$在$$\triangle ABC$$内部，连接$$CE$$，$$BD$$，延长$$BD$$交$$CE$$于点$$F$$，交$$AC$$于点$$G$$，设$$\angle CAB=\angle EAD=\alpha$$．特例思考：（1）如图1，当$$\alpha=90^\circ$$时，试说明$$BD$$与$$CE$$之间的数量关系与位置关系．一般猜想：（2）如图2，当$$0^\circ<\alpha<180^\circ$$时，请直接用含$$\alpha$$的代数式表示$$\angle BFC$$的度数．深度探究：（3）如图3，在图2的基础上，在线段$$DB$$上截取$$DP=EF$$，连接$$AP$$，$$AF$$，求$$\angle AFD$$的度数．（用含$$\alpha$$的代数式表示）（含图）（含图）（含图）

（2024春·平陆县期末）在$$\triangle ABC$$和$$\triangle AEF$$中，$$AB=AC$$，$$AE=AF$$，$$\angle BAC=\angle EAF$$，连接$$BE$$，$$CF$$．【发现问题】如图①，若$$\angle BAC=30^\circ$$，延长$$BE$$交$$CF$$于点$$D$$，则$$BE$$与$$CF$$的数量关系是______，$$\angle BDC$$的度数为______．【类比探究】如图②，若$$\angle BAC=120^\circ$$，延长$$BE$$，$$FC$$相交于点$$D$$，请猜想$$BE$$与$$CF$$的数量关系及$$\angle BDC$$的度数，并说明理由．【拓展延伸】如图③，若$$\angle BAC=90^\circ$$，且点$$B$$，$$E$$，$$F$$在同一条直线上，过点$$A$$作$$AM\perp BF$$，垂足为点$$M$$，请猜想$$BF$$，$$CF$$，$$AM$$之间的数量关系，并说明理由．（含图）（含图）（含图）

(2024春·平陆县期末)在$$\triangle ABC$$和$$\triangle AEF$$中，$$AB=AC$$，$$AE=AF$$，$$\angle BAC=\angle EAF$$，连接$$BE$$，$$CF$$. 【发现问题】如图①，若$$\angle BAC=30^\circ$$，延长$$BE$$交$$CF$$于点$$D$$，则$$BE$$与$$CF$$的数量关系是____，$$\angle BDC$$的度数为____. 【类比探究】如图②，若$$\angle BAC=120^\circ$$，延长$$BE$$，$$FC$$相交于点$$D$$，请猜想$$BE$$与$$CF$$的数量关系及$$\angle BDC$$的度数，并说明理由. 【拓展延伸】如图③，若$$\angle BAC=90^\circ$$，且点$$B$$，$$E$$，$$F$$在同一条直线上，过点$$A$$作$$AM\perp BF$$，垂足为点$$M$$，请猜想$$BF$$，$$CF$$，$$AM$$之间的数量关系，并说明理由.（含图）（含图）（含图）

(2023春·盐湖区期末)阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决. 比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题. 例：如图1，$$D$$是$$\triangle ABC$$内一点，且$$AD$$平分$$\angle BAC$$，$$CD\perp AD$$，连接$$BD$$，若$$\triangle ABD$$的面积为10，求$$\triangle ABC$$的面积. 该问题的解答过程如下：解：如图2，过点$$B$$作$$BH\perp CD$$交$$CD$$延长线于点$$H$$，$$CH$$、$$AB$$交于点$$E$$， $$\because AD$$平分$$\angle BAC$$， $$\therefore \angle DAB=\angle DAC$$. $$\because AD\perp CD$$， $$\therefore \angle ADC=\angle ADE=90^\circ$$. 在$$\triangle ADE$$和$$\triangle ADC$$中，$$\begin{cases} \angle DAE=\angle DAC \\ AD=AD \\ \angle ADE=\angle ADC \end{cases}$$， $$\therefore \triangle ADE\cong\triangle ADC$$（依据1） $$\therefore ED=CD$$（依据2），$$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ADC}$$， $$\because S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}DE\cdot BH$$，$$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}CD\cdot BH$$. ... 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是____，____；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在$$\triangle ABC$$中，$$\angle BAC=90^\circ$$，$$AB=AC$$，$$BE$$平分$$\angle CBA$$交$$AC$$于点$$D$$，过点$$C$$作$$CE\perp BD$$交$$BD$$延长线于点$$E$$. 若$$CE=6$$，求$$BD$$的长.（含图）（含图）（含图）（含图）

(2022春·盐湖区期末)已知：等腰直角$$\triangle ABC$$，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$AC=BC$$，$$CH\perp AB$$，将$$\triangle ABC$$沿$$CE$$折叠，使$$CA$$落在直线$$CH$$上，$$BM$$是$$\angle ABC$$的平分线，交$$AC$$于$$M$$，交$$CH$$于$$N$$. 连接$$EN$$. (1) 请说明：$$AE=CN$$； (2) 试判断$$CE$$与$$BM$$的关系，并说明理由.（含图）

（2021春·河津市期末）三个等角在同一直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、钝角，若为直角称一线三垂直）．利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，解决问题．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE=BD+CE；（2）如图2，将（1）中的条件改为在△ABC中．AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（含图）

（2025春·榆次区期末）阅读与思考下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日星期日晴巧用中线构造全等数学问题：数学课上，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB=2，BD=1，若BC的长度为奇数，求BC边的长度．解决问题：我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长BD至点E，使DE=BD，连接AE．因为BD是AC边上的中线，所以CD=AD．在△CDB和△ADE中，因为CD=AD，∠CDB=∠ADE，DB=DE，所以△CDB≌△ADE．所以BC=AE．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化．任务：（1）小亮判断△CDB≌△ADE的依据是______；（2）请你根据小亮的思路求出BC边的长度：______（写出一个即可）；（3）迁移应用：如图3，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E，连接CE交AD于点F，若AB=CF，∠ACE=16°，∠CAD=30°，则∠AEF的度数为______°．（含图）（含图）

（2025春·榆次区期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，点E是AB边上的一点，将△CAE沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D处．初步探究：（1）请直接写出∠BCD的度数为______；深入探究：（2）“启明小组”将图1中的∠B变为30°，其它条件不变，过D作DF⊥CB于点F得到图2．试猜想线段CE与CF的数量关系，并说明理由；类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，△ABC中，∠A=48°，D为AB边上一点，将△BCD沿CD折叠，点B落到点E处，当DE∥AC时，请直接写出此时∠CDB的度数． (缺图)

【问题情景】发现与探索：数学课上，老师与同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动. 已知：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DCE$$中，$$CA=CB$$，$$CD=CE$$，$$\angle ACB=\angle DCE=\alpha$$，连接$$BE$$、$$AD$$. （1）【特例发现】 “勤奋”小组提出：如图1，若$$\alpha=30^\circ$$时，设$$BE$$与$$AD$$交于点$$F$$，则$$BE$$与$$AD$$的数量关系是____，$$\angle AFB=$$____°；（2）【类比猜想】 “希望”小组受上述问题的启发提出：若$$\alpha=50^\circ$$时，且按如图2的方式摆放，并取$$BE$$的中点$$G$$，$$AD$$的中点$$H$$，请判断$$CG$$和$$CH$$有怎样的数量关系？并说明理由；（3）【拓展应用】 “创新”小组提出：如图3，若$$\alpha=90^\circ$$，按如图3的方式摆放，且$$B$$，$$E$$，$$D$$在同一直线上，过点$$C$$作$$CM\perp BD$$于点$$M$$，请直接写出$$BD$$，$$AD$$，$$CM$$之间的数量关系.（含图）（含图）（含图）

万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具，是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明. 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写. 【实验一】如图（1），当“镜子门”张角的大小为$$120^\circ$$时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球. （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为$$90^\circ$$时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的____个小球. 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于$$90^\circ$$角度问题这两个像是重合的. 如图（3），当镜子$$M,N$$形成的“镜子门”张角大小为$$90^\circ$$时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球$$S$$，小球$$S$$在平面镜中所成的像为$$S_1$$，$$S_2$$，像$$S_1$$在镜面$$N$$里又成像$$S_3$$同理$$S_2$$在镜面$$M$$里又成像$$S_4$$，由角度可以推算出$$S_3$$，$$S_4$$，是重合的. （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为$$60^\circ$$时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为____. （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为$$45^\circ$$时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为____. （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为$$n^\circ$$（$$0

数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系. 已知：在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$. （1）如图1，若$$\angle BAC=90^\circ$$，点$$D$$、$$A$$、$$E$$在直线$$m$$上，$$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$$，则$$BD$$与$$AE$$的数量关系为____，$$CE$$与$$AD$$的数量关系为____. （2）如图2，若$$\angle BAC>90^\circ$$，点$$D$$、$$A$$、$$E$$在直线$$m$$上，$$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$$，试判断线段$$BD$$，$$CE$$和$$DE$$的数量关系，并说明理由. （3）如图3，若$$\angle BAC<90^\circ$$，$$AB=AC=12cm$$，$$BC=8cm$$，$$E$$是$$AB$$中点，点$$P$$在线段$$BC$$上以$$3cm/s$$的速度由点$$B$$到点$$C$$运动，同时点$$Q$$在线段$$CA$$上由点$$C$$到点$$A$$运动，它们运动的时间为$$t/s$$，当点$$Q$$的运动速度为多少时，能使$$\triangle BPE$$与以$$C$$、$$P$$、$$Q$$三点为顶点所构成的三角形全等.（直接写出结果）（含图）（含图）（含图）（含图）

下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务。关于“全等四边形”的研究报告【研究对象】全等四边形【研究思路】类比研究全等三角形，按“概念 - 性质 - 判定 - 应用”的路径，利用转化和类比思想。【概念理解】能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形。如图1，四边形ABCD与四边形$$A'B'C'D'$$能够完全重合，它们是全等四边形，其中顶点A与$$A'$$重合，它们是全等四边形的对应点，AB与$$A'B'$$重合，它们是全等四边形的对应边，$$\angle ABC$$与$$\angle A'B'C'$$重合，它们是全等四边形的对应角。【性质探索】类比全等三角形的性质，可以得到全等四边形$$D'$$形的性质如下：关于边：全等四边形的____；关于角：全等四边形的____；关于对角线：全等四边形的对应角线相等。【判定探索】根据定义，探索全等四边形的判定条件，善思小组认为连接一条对角线可以将四边形全等的问题转化为三角形全等的问题，通过三角形全等可得到两个四边形中“四条边对应相等和四个角对应相等”，进而得到两个四边形全等。如图2，在四边形ABCD和四边形$$A'B'C'D'$$中，$$AB=A'B'$$，$$BC=B'C'$$，$$CD=C'D'$$，$$AD=A'D'$$，$$\angle D=\angle D'$$，则四边形ABCD$$\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$。解：如图2，分别连接AC和$$A'C'$$。在$$\triangle ACD$$和$$\triangle A'C'D'$$中，因为$$AD=A'D'$$，$$\angle D=\angle D'$$，$$CD=C'D'$$，所以$$\triangle ACD\cong\triangle A'C'D'$$（SAS）。根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”， … 任务：（1）填空：材料中“性质探索”空缺的部分：____，____。（2）补全材料中“判定探索”的推理过程。（3）在图2中，若$$CD=C'D'$$，$$AD=A'D'$$，$$\angle D=\angle D'$$，添加两个条件（不与阅读材料中相同）使得四边形ABCD$$\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$，你添加的条件分别是____，____（答案不唯一）。（含图）

【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片$$\triangle ABC$$与$$\triangle ADE$$进行摆放，使直角顶点重合。如图1，已知$$\triangle ABC\cong\triangle ADE$$，$$\angle BAC=\angle DAE=90^\circ$$，AE与BC交于点M，AC与ED交于点N，BC与ED交于点P，连接AP并延长，交EC于点Q。点Q是否是线段EC的中点？【特例研究】（1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点B在AE上，点D在AC上，此时点M与点B重合，点N与点D重合，同学们发现此时可以先证$$\triangle BEP\cong\triangle DCP$$，再证$$\triangle AEP\cong\triangle ACP$$，进而说明点Q是线段EC的中点，请你写出推理过程。【一般探究】（2）善思小组受到启发，可以先证$$\triangle ABM\cong\triangle ADN$$，再利用勤学小组的方法说明点Q是线段EC的中点，请说明理由。【变式探究】（3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且$$\angle BAC$$与$$\angle DAE$$始终有重合部分，若$$\angle ACB=40^\circ$$，当$$\triangle AMC$$是等腰三角形时，直接写出$$\angle BAM$$的度数。（含图）

已知$$\triangle ABC$$是等边三角形，过点$$A$$作$$AE\parallel BC$$。（1）如图1说明：$$AC$$是$$\angle BAE$$的平分线。（2）如图2，当点$$D$$在线段$$AB$$上（不与点$$A$$，$$B$$重合）时，连接$$DC$$，以$$DC$$为边在$$DC$$上方作等边$$\triangle DCE$$，连接$$AE$$，说明：$$BC=AE+AD$$。（3）如图3，当点$$D$$在$$BA$$的延长线上时，连接$$DC$$，以$$DC$$为边在$$DC$$右边作等边$$\triangle DCE$$连接$$AE$$，作$$\triangle DCE$$关于直线$$CD$$对称的图形$$\triangle DCF$$，连接$$BF$$，已知$$AE=\frac{7}{3}BF$$，$$BC=6$$，直接写出$$BD$$的长。

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