山西北师版七下期末压轴汇总——陈进步讲数学

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(2024春·平陆县期末)将一副直角三角板如图放置，点$$C$$在$$FD$$的延长线上，$$AB\parallel CF$$，$$\angle F=\angle ACB=90^{\circ}$$，则$$\angle CBD$$的度数为______。（含图）

(2023春·盐湖区期末)如图，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$\angle BAC=130^{\circ}$$，$$\triangle AFD$$和$$\triangle ABD$$关于直线$$AD$$对称，$$\angle FAC$$的平分线交$$BC$$于点$$G$$，连接$$FG$$，当$$\triangle DFG$$为等腰三角形时，$$\angle FDG$$的度数为______。（含图）

(2025春·榆次区期末)如图，$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC=16m$$，$$BC=20m$$，$$\angle B=\angle C$$，点$$D$$是$$AB$$的中点，点$$E$$在边$$BC$$上以$$2m/s$$的速度由$$B$$点向$$C$$点运动，同时点$$F$$在边$$AC$$上由$$A$$点向$$C$$点运动，当点$$F$$的运动速度为______$$m/s$$时，$$\triangle DBE$$可以与$$\triangle FCE$$全等。（含图）

(2025春·祁县期末)如图，在$$Rt\triangle ABC$$中，$$\angle C=90^{\circ}$$，$$AC=5$$，$$AB=15$$，$$AD$$平分$$\angle BAC$$交$$BC$$于点$$D$$，过点$$D$$作$$DE\perp AD$$交$$AB$$于点$$E$$，点$$P$$是$$DE$$上的动点，点$$Q$$是$$BD$$上的动点，则$$BP+PQ$$的最小值为______。（含图）

(2025春·昔阳县期末)如图，$$\triangle ABC\cong\triangle DEC$$，$$\angle ABC=90^{\circ}$$，$$\angle ABC$$的平分线过点$$E$$，与$$AD$$交于点$$M$$。若$$BM=BA$$，则$$\angle EDC$$的度数为______。（含图）

（2025春·休市期末）如图，$$\triangle ABC$$中，$$AD$$、$$AE$$分别为角平分线和高，$$\angle B=46^\circ$$，$$\angle C=64^\circ$$，则$$\angle DAE=$$______°．（含图）

（2025春·左权县期末）如图等腰三角形$$ABC$$的底边$$BC$$长为6，面积是24，腰$$AB$$的垂直平分线$$EF$$分别交$$AB$$，$$AC$$于点$$E$$，$$F$$，若点$$D$$为底边$$BC$$的中点，点$$M$$为线段$$EF$$上一动点，则$$\triangle BDM$$的周长的最小值为______．（含图）（含图）

（2024春·晋中期末）如图，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$BC=10$$，且$$S_{\triangle ABC}=60$$，现将其沿$$MN$$折叠后，点$$A$$恰好与点$$C$$重合，若点$$D$$是折痕$$MN$$上的一点，点$$O$$是$$BC$$的中点，连接$$OD$$，$$CD$$．则$$\triangle COD$$周长的最小值是______．（含图）

（2025春·福田区校级期末）如图，在Rt$$\triangle ABC$$中，$$\angle ABC=90^\circ$$，过$$B$$作$$BM\perp AC$$于点$$M$$，点$$N$$为$$AC$$边上一点，点$$P$$为$$BC$$边中点，连接$$BN$$，$$PN$$，若$$\angle MBA=\angle MBN$$，$$\angle CNP=45^\circ$$，则$$\frac{MN}{CN}=$$______．（含图）

问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题。已知$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，点$$P$$是$$AB$$边的中点，点$$D$$是射线$$BC$$上的一个动点，过点$$D$$作直线$$l\perp BC$$，点$$P$$关于直线$$l$$的对称点为点$$Q$$。特例分析：（1）如图1，当直线$$l$$经过点$$A$$时，点$$Q$$恰好落在$$AC$$边上，连接$$PQ$$，交直线$$l$$于点$$O$$。猜想此时$$PQ$$与$$BC$$的位置关系，并说明理由；拓展探究：（2）如图2，当直线$$l$$与线段$$AP$$交于点$$E$$（不与$$A$$，$$P$$重合）时，点$$Q$$落在$$\triangle ABC$$内部，连接$$EQ$$并延长交线段$$BC$$于点$$G$$，连接$$PQ$$并延长，交直线$$l$$于点$$O$$，交线段$$AC$$于点$$F$$，连接$$FG$$。猜想此时$$QF$$与$$GC$$的数量关系，并说明理由；（3）若直线$$l$$与线段$$PA$$的延长线交于点$$E$$，连接$$EQ$$并延长交射线$$BC$$于点$$G$$，连接$$PQ$$交线段$$AC$$于点$$F$$。请借助备用图探究线段$$BD$$，$$CD$$，$$FQ$$之间的数量关系（直接写出结论即可）。

【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合。如图1，已知$$\triangle ABC\cong \triangle DEC$$，$$\angle ABC=\angle DEC=90^{\circ}$$，连接$$AD$$，射线$$BE$$与线段$$AD$$交于点$$M$$，并思考点$$M$$是否是线段$$AD$$的中点；【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，$$A$$，$$E$$，$$D$$三点在同一直线上，此时点$$E$$与点$$M$$重合，同学们发现点$$M$$恰好是线段$$AD$$的中点，请你说明理由；【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点$$M$$仍为线段$$AD$$的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点$$D$$为圆心，$$DE$$的长为半径作弧交射线$$BE$$于点$$G$$，则$$DG=DE$$，……，请你按照小明的思路说明点$$M$$是线段$$AD$$的中点；【变式探究】（3）智慧小组继续改变$$\triangle DEC$$的位置进行探究，且点$$E$$始终在直线$$BC$$的上方。若$$\angle BAC=35^{\circ}$$，当$$\triangle ABM$$是等腰三角形时，请直接写出$$\angle ABM$$的度数。

数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图1，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$AD$$是$$BC$$边上的中线，过点$$A$$作$$BC$$的平行线$$l$$. 独立思考：（1）在图1中的直线$$l$$上取点$$E$$（点$$E$$在点$$A$$左侧），使$$AE=BD$$，连接$$DE$$交$$AB$$于点$$F$$，得到图2.试判断$$EF$$与$$DF$$的数量关系，并说明理由；（2）在图1中的直线$$l$$上取点$$G$$，$$H$$（点$$G$$，$$H$$分别在点$$A$$的两侧），使$$AG=AH$$，连接$$DG$$交$$AB$$于点$$M$$，连接$$DH$$交$$AC$$于点$$N$$，得到图3.小宇发现$$GM=HN$$，请你帮她说明理由；合作交流：（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究.若$$\angle BAC=40^\circ$$，当$$\triangle AGM$$是等腰三角形时，直接写出$$\angle GDH$$的度数.（含图）（含图）（含图）

数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系. 已知：在$$Rt\triangle ABC$$中，$$AC=BC$$，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$D$$是射线$$CB$$上的一个动点，连接$$AD$$，过点$$C$$作$$AD$$的垂线，垂足为点$$E$$，过点$$B$$作$$AC$$的平行线交$$CE$$的延长线于点$$F$$. 独立思考：（1）如图1，当点$$D$$与点$$B$$重合时，小颖发现$$BF=AC$$，请你帮她说明理由；（2）如图2，当点$$D$$为$$BC$$中点时，直接写出线段$$BF$$与$$AC$$的数量关系；合作交流：（3）完成上述两个问题之后，同学们展开更深入的探究. 请从A、B两题中任选一题作答.我选择A题： A. 如图3，当点$$D$$在线段$$CB$$上（不与$$C$$、$$B$$重合），请探究线段$$BF$$、$$BD$$与$$AC$$之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）； B. 如图4，当点$$D$$在线段$$CB$$延长线上，请探究线段$$BF$$、$$BD$$与$$AC$$之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）.（含图）（含图）（含图）（含图）

问题情境：如图1，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$\angle BAC$$为钝角，点$$D$$是$$BC$$的中点，$$DE\perp AB$$于点$$E$$，$$DF\perp AC$$于点$$F$$。试判断线段$$DE$$与$$DF$$的数量关系，并说明理由。探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：$$DE=DF$$，理由如下： $$\because$$点$$D$$是$$BC$$的中点， $$\therefore AD$$是$$BC$$边上中线， $$\because AB=AC$$， $$\therefore AD$$是$$\angle BAC$$的角平分线。（依据1） $$\because DF\perp AC$$，$$DE\perp AB$$， $$\therefore DE=DF$$。（依据2）反思交流：（1）写出上述过程中的“依据1”和“依据2”：依据1：______；依据2：______。（2）请探究线段$$AE$$与$$AF$$的数量关系，并说明理由。拓展延伸：（3）请从下面A、B两题中任选一题作答。我选择______题。 A. 在图1的条件下，点$$M$$是线段$$AF$$上一点，作$$\angle MDN=\angle EDF$$，射线$$DN$$交$$AB$$于点$$N$$，试判断$$AM+EN=AE$$是否成立，并说明理由。 B. 在图1的条件下，点$$M$$是线段$$FA$$延长线上一点，作$$\angle MDN=\angle EDF$$，射线$$DN$$交线段$$BE$$于点$$N$$，试写出$$AM$$，$$EN$$与$$AE$$的等量关系并说明理由。

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系。如图1，$$\triangle ABC\cong \triangle DEF$$，$$AB=AC$$，$$DE=DF$$。 [探究一] （1）勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点$$A$$与点$$D$$重合，连接$$BE$$和$$CF$$。他们发现$$BE$$与$$CF$$之间存在着一定的数量关系，这个关系是______。 [探究二] （2）创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点$$F$$，$$A$$，$$D$$，$$C$$在同一直线上，连接$$BF$$和$$CE$$，他们发现了$$BF$$和$$CE$$之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由； [探究三] （3）从A、B两题中任选一题作答。解答时用尺规作$$\triangle DEF$$，不写作法，保留作图痕迹。 A. 如图4，利用$$\triangle ABC$$纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论。 B. 如图4，利用$$\triangle ABC$$纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答。

数学课上老师让同学利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系。问题情境：如图1，三角形纸片$$ABC$$中，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$AC=BC$$，将点$$C$$放在直线$$l$$上，点$$A$$，$$B$$位于直线$$l$$的同侧，过点$$A$$作$$AD\perp l$$于点$$D$$。初步探究（1）在图1的直线$$l$$上取点$$E$$，使得$$BE=BC$$得到图2，猜想线段$$CE$$与$$AD$$的数量关系，并说明理由；变式拓展：（2）小颖又拿了一张三角形纸片$$MPN$$继续进行拼图操作，其中$$\angle MPN=90^\circ$$，$$MP=NP$$，小颖在图1的基础上，将三角形纸片$$MPN$$的顶点$$P$$放在直线$$l$$上，点$$M$$与$$B$$重合，过点$$N$$作$$NH\perp l$$于点$$H$$。请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择A题。 A. 如图3，当点$$N$$与点$$M$$在直线$$l$$的异侧时，探究此时线段$$CP$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由。 B. 如图4，当点$$N$$与点$$M$$在直线$$l$$的同侧，且点$$P$$在线段$$CD$$的中点时，探究此时线段$$CD$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由。

（2019春·太原期末）数学课上老师让同学利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片$$ABC$$中，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$AC=BC$$，将点$$C$$放在直线$$l$$上，点$$A$$，$$B$$位于直线$$l$$的同侧，过点$$A$$作$$AD\perp l$$于点$$D$$。初步探究（1）在图1的直线$$l$$上取点$$E$$，使得$$BE=BC$$得到图2，猜想线段$$CE$$与$$AD$$的数量关系，并说明理由；变式拓展：（2）小颖又拿了一张三角形纸片$$MPN$$继续进行拼图操作，其中$$\angle MPN=90^\circ$$，$$MP=NP$$，小颖在图1的基础上，将三角形纸片$$MPN$$的顶点$$P$$放在直线$$l$$上，点$$M$$与$$B$$重合，过点$$N$$作$$NH\perp l$$于点$$H$$。请从下面$$AB$$两题中任选一题作答，我选择$$A$$题 $$A$$．如图3，当点$$N$$与点$$M$$在直线$$l$$的异侧时，探究此时线段$$CP$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由。 $$B$$．如图4，当点$$N$$与点$$M$$在直线$$l$$的同侧，且点$$P$$在线段$$CD$$的中点时，探究此时线段$$CD$$，$$AD$$，$$NH$$之间的数量关系，并说明理由。（含图）（含图）（含图）（含图）

（2019春·太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务：全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一条边相等”或“一个角相等”称为一个条件．智慧小组的同学类比“探索三角形全等条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图1，四边形$$ABCD$$和四边形$$A'B'C'D'$$中，连接对角线$$AC$$，$$A'C$$，这样两个四边形全等的问题就转化为“$$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$$”与“$$\triangle ACD\cong \triangle A'CD'$$”的问题．若先给定$$ABC\cong \triangle ABC$$的条件，只要再增加2个条件使“$$\triangle ACD\cong \triangle A'CD'$$”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等．按照智慧小组的思路，小明对图1中的四边形$$ABCD$$与四边形$$A'B'C'D'$$先给出如下条件：$$AB=A'B'$$，$$\angle B=\angle B'$$，$$BC=B'C$$．小亮在此基础上又给出“$$AD=A'D'$$，$$CD=C'D'$$”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$” （1）请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$”的理由；（2）请从下面$$A$$，$$B$$两题中任选一题作答，我选择$$A$$或$$B$$题。 $$A$$．在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“$$AD=A'D'$$“$$\angle BCD=\angle B'CD'$$．满足这五个条件____（填“能”或“不能”）得到四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$ $$B$$．在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于小亮的条件），使四边形$$ABCD\cong$$四边形$$A'B'C'D'$$．你添加的条件是①____，②____．（含图）（含图）（含图）

（2018春·太原期末）如图，在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC=12cm$$，$$BC=9cm$$，点$$D$$为$$AB$$的中点．设点$$P$$以$$3cm/s$$的速度由点$$B$$沿$$BC$$向点$$C$$运动，同时点$$Q$$由点$$C$$沿$$CA$$向点$$A$$运动。（1）若点$$Q$$与点$$P$$的运动速度相等，当$$\triangle BPD\cong \triangle CQP$$时，求点$$P$$的运动时间；（2）从$$A$$，$$B$$两题中任选一题作答。 $$A$$．在（1）中，试说明$$\angle DPQ=\angle B$$。 $$B$$．如果点$$Q$$的运动速度与点$$P$$的运动速度不相等，在运动过程中是否存在$$\triangle BPD$$与$$\triangle CQP$$全等？若存在，请求出点$$Q$$的运动速度与运动的时间；若不存在，请说明理由。（含图）

（2017春·太原期末）问题情境：数学活动课上，同学们探究等腰三角形中两条线段的关系：如图1，$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$\angle BAC=45^\circ$$，点$$D$$是边$$AC$$上的一点，且$$DA=DB$$，点$$P$$是边$$AB$$上一点（不与点$$B$$重合），过点$$P$$作$$PE\perp BC$$，垂足为点$$E$$，交线段$$BD$$于点$$F$$．线段$$PF$$与$$BE$$之间存在怎样的数量关系？特例猜想：（1）为探究问题的一般结论，同学们先研究特殊情况：当点$$P$$与点$$A$$重合时，如图2，小彬猜想得到①$$\triangle ADF\cong\triangle BDC$$；②$$PF=2BE$$．请你判断这两个猜想是否正确，并说明理由；一般探究：（2）通过特例启发，同学们广开思路，进行了如下探究．请从下列$$A$$，$$B$$两题中任选一题作答：我选择$$A$$或$$B$$题： $$A$$：如图3，勤学小组发现图1中$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在图1中的$$BD$$上取一点$$N$$，使得$$PN=NB$$，延长$$PN$$交$$BC$$于点$$M$$，得到图3，证明了$$\triangle PNF\cong\triangle BNM$$，…．请你根据勤学小组的思路接着完成说明$$PF=2BE$$的过程． $$B$$：善思小组探究了更加一般的情况，当图1中的点$$P$$运动到线段$$BA$$的延长线上，如图4，其余条件不变，发现此时$$PF=2BE$$也成立．他们的思路是：在$$BD$$的延长线上取一点$$N$$，使得$$PN=NB$$，延长$$PN$$交$$BC$$的延长线于点$$M$$，…．请你根据善思小组的思路说明图4中的$$PF=2BE$$．（含图）（含图）（含图）

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