《高等数学》

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1,1, 1, , ( 1) , n+ −− −"" ；都是数列，它们的一般项分别是 11 ,2 ,( 1) nnn n ++ −. 数列的概念实际上是整标函数的概念，即自变量取全体自然数，并按自然数的排列顺序变化的一种特殊函数 (), 1,2,3, n xfnn== ". 在数轴上，数列 {} n x的每一项都有对应的点，因此数列 {} n x可看成数轴上的一个动点（见图1-9）. 图1-9 和前面给出的近似圆的面积的问题类似，对一般的数列 123 ,,,,, n xxx x""来说，如果当 n无限增大时，对应数列的项 n x无限接近于某个确定的常数一定义通常称为数列极限的描述性定义 . 例如，对数列 {} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ ，如果改写一下它的通项 11 1 n n x nn + = =+，可以很容易看出，第一章函数、极限与连续 ·11· 当 n不断增大时， 1 n 越来越小，从而 n x就越来越接近于常数 1. 即当 n无限增大时， n x无限接近于常数 1. 那么，1就是当 n→∞时数列{} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 的极限. 又如数列 1 {( 1) } n n x + =− ，在 n→∞的过程中， n x反复地取值 1和1−，并不接近于某个确定的常数，因此数列 1 {( 1) } n n x + =− 没有极限. 但是，仅凭观察来判断一个数列是否存在极限是很有局限性的，对一些简单的数列可以观察出其变化趋势，而对复杂的数列来说，仅凭观察很难判断出其准确的变化趋势 . 特别是在进行极限问题的证明时，更不能以观察结果作为推理的依据 . 所以，有必要寻求精确的数学语言对数列的极限加以定义 . 仍以数列 1 {} n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 为例来深入分析“当 n→∞时数列{} nx无限接近于常数 a”的含义. 我们知道，任意一个实数都对应数轴上一个点 . 因此，两个数 a与b就对应数轴上的两个点，记这两个点为 , AB（见图1-10），数 a与b的接近程度就直接反映在了对应的两点 ,(　　)间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 ba−来衡量. ba−越小，对应点 ,AB之间的距离就越小， a与b之间就越接近 . 这样，数列 {} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 无限地接近于 1，就意味着 1 n x−可以无限地变小 . “可以无限地变小”指的就是小的程度没有任何限制，即无论要求 1 n x−多么小， 1 n x−就能变得那么小 . 由于 1 1 n x n−=，因此如果要求 1 1 10 n x −. 也就是说，从第 10

1 设有数列 123 ,,,,, n xxx x"". 如果存在常数 ε（无论它多么小），总存在正整数 N，只要nN>，对应的 n x就满足不等式 n xaε−

1,1, 1, , ( 1) , n+ −− −"" 有界，但它却不收敛 . 定理2.3 设有两个数列 {}{}, nn xy，lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，且ab时， nn xy ，仿照定理 2.1证明，存在正整数 N，当nN>时，下面两式同时成立 2 n ba xa − −< ，（2.3） 2 n ba ya − −< . （2.4）利用（2.3）式可得 2 n ab x + < ，利用（2.4）式可得 2 n ab y + > . 因此，当 nN>时， nn xy，则必存在正整数 N，当nN>时，成立 0 n x>. 定理2.4 设有两个数列 {},{} nn xy，lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，且存在正整数 N，当nN>时， nn xy≥成立，则必有 ab≥. 用反证法结合定理 2.3容易证明该结论 . 推论设有数列 {} n x，lim n n xa → = ∞ ，且从某项开始有 0 n x≥（ 0 n x≤），则必有 0a≥（ 0a≤）. 定理2.5 设数列{ }{}, nn xy都收敛，且 lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，则有如下的运算法则成立：（1）lim( ) lim lim nn n n nnn （2）lim( ) lim lim （3）

0 111 lim lim lim 1 11 lim x x x x xx x x(　　)+ →→ → → ⎛⎞ ⎜⎟ ===⎜⎟ ⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ，由于此时01 1 1 从而由已证得的 1a>时的结论知， 1 lim 1 x x → ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ . 综上可得 lim 1 x x → =，其中 0a>，但 1 例7 证明： lim 1 x x → =，其中 0a>，但 1a≠. 证此时 0x

0 11 lim lim lim 1 lim xt tt xt t t(　　)−+ + + − →→ → → = === . 注：例6和例7的证明过程中，处理 11 11 lim lim lim 11 lim tt xx t t t t(　　)+ + + + → → → → ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 时，利用了本第一章函数、极限与连续 ·19· 节后面的定理

6中（3）的结论. 例8 证明： lim x x xx(　　)=，其中 0a>，但 1a≠. 证由上述两个例题知道， lim 1 x x =. 由于 ()

2 1 sin(　　) lim 1 x x x → − = − （）. 1 2 − 1 2

反函数的连续性定理6.2 如果函数 ()fx在区间 x I上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 ()xyφ= 也在对应的区间 { }(), yx Iyy 由该定理知道，反三角函数在各自的定义域内是连续的 . 前面已证得， lim xx xx(　　)=，因此指数函数的反函数，即对数函数 lo yx= 在其定义域内也是连续的 .

复合函数的连续性定理6.3 设函数 ()ux ϕ= 在点 xx=处连续，且 00 ()xuϕ=，而函数 ()yfu= 在点 uu= 处连续，那么复合函数 []()y xx=处也连续. 例9 证明：幂函数 yx μ =，其中μ为实数，且 0μ≠，在(0, )+∞上连续. 证由于 lo(　　)yx μ μμ == = ，因此函数 yx μ =可看成是由两个连续函数 u ya= ， lo uxμ= 复合而成的，因此由定理 6.3知，幂函数在 (0, )+∞上连续.

cos 2sin cos sin 2 . yfu x u x ux xx xϕ′′ ′ ′ ′== =⋅ = = 例8 设 sin 2yx=，求y ′. 解令 () sinyfu u== ， () 2uxxϕ= = 于是 () () (sin)(2) cos 2 2cos2 . yfu x ux ux ϕ′′′ ′′= = =⋅= 例9 设 2 arcsin( ) y x=，求y ′. 解将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数： ( ) arcsinyfu u= = , 2 ()uxxϕ= = 于是 2 24 () () (arcsin)( ) 12 (2 ) . 11 yfu x ux x x uxϕ ′′′ ′′== =⋅= −− 例10 设 2 2 x yx=+ ，求y′. 解将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数： ()yfu u== , 2 () 2 x uxxϕ= =+ 于是 2 2 () () ()( 2) 1 (2 2 ln2) 2 1 (2 2 ln2). 22 x x x x yfu x ux x u x x ϕ′′′= ′′=⋅+ =+ =+ + 复合函数的导数公式可推广到有限个函数复合的情形 . 例如，由 ()yfu=， ()uv ϕ= ， ()vxω= 复合成函数 ((()))y(　　)yyuv xuvx = , 或 ( ) ( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( )yfu v x ϕωϕωϕωω′′′′ ′ ′ ′= = . 例11 设 2 22 cos y −+ = ，求y′. 解设 cosyu=， u=， 2 22vx x=−+ ，于是第二章导数与微分 ·51· 22 2

22 2( 1)sine(　　). 3 32 （1）() 0C′= ；（2） 1 （3）() ln （5） 1 （7）(sin ) cosx x′=；（8）(cos ) sinx x′=− ；（9） 2 2 （11）(sec ) sec tanx xx′= ；（12）(csc ) csc cotx xx′=− ；（13） 2 1 1 2 1 1 （15） 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2

2 3 5(3)(5)y y xx xx xx xx xx xx⎛⎞ ′=+−− ⎜⎟ −− −−⎝⎠ −−⎛⎞ =+−− ⎜⎟ − −−− −−⎝⎠ 三、由参数方程所确定的函数的导数有些问题中，因变量 y与自变量 x的函数关系不是直接用 y与x的解析式来表示，而是通过一个参变量来表示 . 设方程组 () () xt ytϕ ψ=⎧ ⎨ =⎩ 确定了y是 x的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数 . 下面讨论由参数方程表示的函数关系的导数 . 设 ()xtϕ= 有连续反函数 1 ()txϕ − = ，又()tϕ′与()tψ′存在，且 () 0tψ′≠. y与x构成复合函数 1 () ( ( ))yt xψψϕ − == . 第二章导数与微分 ·55· 利用反函数与复合函数的求导法则，有(　　)2 2 2 2 2d 2

基本初等函数的微分公式（1）d( ) 0C=；（2） 1 d( )(　　)aa xax x − = ；（3） d( ) ln(　　)xx （5） 1 1 （7）d(sin ) cos dx xx= ；（8）d(cos ) sin dx xx=− ；（9） 2 2 （11）d(sec ) sec tan dx xxx= ；（12）d(csc ) csc cot dx xxx=− ；（13） 2 1 1 2 1 1 （15） 2 1 1 2 1 1

微分的四则运算定理4.2 设函数 ,uv可微，则（1）d( ) （2）d( ) （3） 2(　　)vuvvu u u −⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ （ 0u≠）. 推论

xa xa(　　)xa （1）上述定理对（2）对于（1）lim ( ) lim ( )

0 2111e 2! ! (　　)! 2 (4)

曲率的计算公式设曲线方程为 ()yfx= ，且()fx具有二阶导数，因此 tanyα=′，等式两端对 x求导得图3-6 图3-7 第三章中值定理与导数应用 ·75· 2 x α α=″， 22 x y α α ″ ″ == + +′ ， 2(　　)yx y α ″ = +′ , 又知 2 d1ds yx=+′. 从而曲率的计算公式为 3 2 2 (1 ) y K y ″ = +′ . 例1 求抛物线 2

2 1 darctan 1 x xC x=+ + ∫ ；（4） 2 1 darcsin 1 x xC x = + − ∫ ；（5）cos(　　)sin xxxC=+ ∫ ；（6）sin(　　)cosxxxC=−+ ∫ ；（7） 2 sec(　　)tanxxxC=+ ∫ ；（8） 2 （9）sec tan(　　)secxxx x C=+ （11） 1 （13）sh(　　)chxxxC=+ （1） 1 331 1 222 11 3 1 2 （2） 12e 2ed (2e)d (2e) 2 1 1

验证函数 arcsin(2 1) arccos(1 2 ) 2arcsinx xx−−、、为同一个函数的原函数 . 第二节不定积分的换元积分法能用基本积分表和不定积分的性质直接计算的不定积分是很少的，所以必须找到新的求不定积分的方法 . 我们将复合函数求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量代换，得到求复合函数不定积分的方法称为换元积分法 . 一、第一类换元法（凑微分法）设() fu的原函数是 ()Fu，有 () (), ()d ()Fu fu fu u Fu C′= =+ ∫ . 若 ()uxϕ= ，且()xϕ可微，根据复合函数的微分法则，得 5 (3 2) (　　)