《高等数学》

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变力沿直线所做的功由物理学知道，如果一个物体在常力 F作用下，沿力的方向做直线运动，位移为s，那么力对物体所做的功为 WFs =⋅. 但在日常生活中，物体在运动过程中所受的力经常是变化的，下面用定积分的微元法来研究变力做功问题 . 例8 随着我国航天事业的不断发展，载人宇宙飞船已遨游太空 . 现在我们来研究，将质量为 m的火箭从地面垂直发射到距地面高度为 h的太空，克服地球引力所做的功的大小 . 解设地球的质量为 M，半径为 R，取地心为坐标原点， x轴铅直向上根据万有引力定律，当火箭（相对于地心来说）位于 x处时，地球对它的引力的大小为 2 () GMm Fx x = , 其中，G为万有引力系数；x的变化区间为 [, ]RR h+，在[, ]RR h+上任取一个小区间 [, d]xxx+ ，以x点处的力作为 [, d]xxx+ 上力的近似值，得功的微元为 2 d Wx x = , 因此，所求的功为 2 1 R R R GMm GMm RR hx x + + ⎛⎞ == = −⎜⎟ +⎝⎠∫ .

s t = = （1.6）这样，问题就归结为要求一个满足式（ 1.5）和条件（ 1.6）式的函数 ().sst= 对（1.5）式两边积分，得 1 gt =+（ 1 C为任意常数）（1.7）对（1.7）式两边积分，得 2 121 , 2 sgt 2 C为任意常数）（1.8）把条件 t s t = = 代入（1.7）式，得 1 0 t s = =代入（1.8）式，得 2 0C=，于是所求的函数关系为 21 . 2 sgt= （1.9）上述两例中的方程（ 1.1）和方程（ 1.5）都含有未知函数的导数，它们均是微分方程，下面给出一般概念 . 定义1.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程. 凡未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本章只讨论常微分方程，常微分方程又简称为微分方程或方程. 在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 例如方程（ 1.1）是一阶微分方程；方程（ 1.5）是二阶微分方程；方程 342 12( ) xyyy′′′ ′−= 是三阶微分方程 . 定义1.2 如果把函数及其导数代入微分方程，能使方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解 . 或简单地说，满足微分方程的函数称为微分方程的解 . 例如，函数（ 1.3）和函数（ 1.4）都是方程（ 1.1）的解，函数（ 1.8）和函数（ 1.9）都是方程（

0xx yy = ′′= （ 000 xyy′，，均为给定值）微分方程通解的图形是一族曲线，此曲线族称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条曲线，称为积分曲线 . 例3 验证函数 12(　　)y − =+ （ 12 ,CC为任意常数），为二阶微分方程 0yy′′−=的通解，并求满足初始条件 00 20 xx yy == ′= =，的特解. 解 12(　　)y − =+ ， 12(　　)y − ′=− ， 12(　　)y − ′′=+ ，将y′′及y代入已知方程，得

12 12 12 12 12 2 0CC 12

，问：开始制动后多长时间列车才能停住？在这段时间里列车行驶了多少路程？第二节一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为 (, , ) 0Fxyy = ′. 如果能从此方程中解出 y′，便得到方程 (, )y= 一、可分离变量的微分方程形如 dy = x （2.1）的方程，称为可分离变量的微分方程 . 当() 0gy≠时，方程（ 2.1）可以写成 ()y = gy （2.2）此时，方程的右端只含有变量 x，左端只含有变量 y，即方程中的变量已被分离 . 对（2.2）式两端分别积分，得 ()y =fxx gy ∫∫ ，设 1 ()gy 和 () fx的原函数分别为 ()Gy和 ()Fx，则 () () Gy Fx 由此二元方程所确定的隐函数 ()yfx= 就是微分方程（ 2.2）的通解. 高等数学 ·118· 若存在 y，使 ()0gy=，直接代入方程（ 2.1）可知， yy=也是方程（ 2.1）的解，它可能不包含在通解中 . 例1 求微分方程 2yxy ′=的通解. 解将方程分离变量，得 y= , （ 0y ≠）. 两端积分有 y= ∫∫ ，可得 2 1 lnyx 1 C为任意常数） , 即 2 1 y + =± ，令 1 C=±，于是方程的通解为 2 yC= . 今后，为了运算和表述方便，可把运算中的 lny写成lny，最后结果中的 C可为任意实数（易验证：当 0C=时， 0y =也是已知方程的解） . 例2 求微分方程 cos x yx yy − ++= 满足初始条件 π 4 x y = =的特解. 解将已知方程分离变量 sin cos 1 yx y y − − = + 两端积分 sin 1 d x y yx y − − = + ∫∫ ，即 sin cos 1 x y yx y =− + ∫∫ ，得 ln cos ln(1 x yC=+− . （这里把任意常数写成 ln x )secyC=，把 π 4 x y = = 代入上式，求得 22C= . 因此，所求的特解为 (1 x y+= . 例3 一个带电物体，由于绝缘不完全而渐渐失掉自己的电荷 . 设物体放电的速度与当时所带电荷成正比（比例系数为 0k>），开始时（ 0t=）的电荷等于 q，求电荷 q与时间t的函数关系 . 解设电荷q与时间t的函数关系为 ()qqt = ，则物体的放电速度为 q t ，由已知得 kq t =− （2.3）初始条件 t=0 0 q=q ，方程显然是可分离变量的 . 将方程（2.3）分离变量并两端积分，得 q kt q =− ∫∫ ，解之得 1 lnqktC=−+ ，即 q = （ 1 C= ），将初始条件 t=0 0 q=q 代入上式得 Cq=. 于是得所求的函数关系（即方程的特解）为 qq − = . 有些微分方程虽不属于可分离变量的类型，但通过适当的变量代换后，可以化为可分离变量的类型 . 第五章常微分方程初步 ·119· 例4 求微分方程 dlnd0 y xy y x x − =的通解. 解此方程不属于可分离变量的类型，但其可改写为 ln , yy y xx ′= 如果令y u x = ，则yxu =，由此得 d yu ux x x =+ ，代入上式，得 ux uu x += , 即 dln xx − = , 这是一个可分离变量的方程，分离变量得 d ux uu x = − ，两边积分 d ux uu x = −∫ ∫ ，得 ln(ln 1) ln lnuxC−= + ，即ln 1uCx−= ，所以 1 u + = ，代回原变量得 1 x + = ，于是原方程的通解为 1 yx + = . 一般形如 y y ⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ 的方程称为齐次方程，这种方程只要通过变量代换 y u x =，即可化为未知函数为 ()ux的可分离变量型微分方程，事实上，例 4就是一个齐次方程 . 二、一阶线性微分方程形如 Pxy Qx x += （2.4）的方程称为一阶线性微分方程，其中 (), ()PxQx为已知函数， ()Qx称为自由项 . 如果() 0Qx= ，则方程（ 2.4）变为 Pxy x + = （2.5）称为一阶齐次线性微分方程 . 如果() 0Qx≠ ，则方程（ 2.4）称为一阶非齐次线性微分方程， ()Qx称非齐次项 .

9）中，计算出通解 . 例5 求方程 tan secyy x x′+= 的通解. 解方法一这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 tan 0yy x ′+ = 的通解，分离变量得(　　)tan(　　)y xx y =−，两端积分得 ln ln cos lnyxC = + ，即 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 111 22 1 1 2

2 Cxy y Cy y ⎛⎞ ⎛⎞ +== +⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ . 有些微分方程，虽不是一阶线性微分方程，但通过适当的变量代换后，可以化为一阶线性微分方程 . 形如 Pxy Qxy n x += ≠ 的方程称为伯努利（ Bernoulli）方程，整理可得 1 yPxyQx x −− += 或 1 1 1 1 n y Pxy Qx nx − − += − 代换 1n z=y − ，化为一阶线性微分方程 nPxz nQx x +− =− 求出它的通解后，以 1n y − 代 z，便得到伯努利方程的通解 . 例8 求方程 d4 yxy xx −= 的通解. 解这是伯努利方程，其中 1 2 n=. 令 11 1 22 zyy − == ，则 2 y=z，则 d d z x x = ，代入所给第五章常微分方程初步 ·123· 方程得 d2 d2 zx z xx −= ，这是一阶线性微分方程 . 利用通解公式（ 2.9）求得其通解为 22 d 22 2 eedee 11 dln. 22 xx xxxxxx z x x xxCxx − −⎛⎞ ⎛⎞ =+=+⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ =+=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∫∫ ∫∫ ∫ 以 1 2 zy=代入上式，则所求方程通解为 2 4 1 ln 2 yx x =+ ⎜⎟ ⎝⎠ . 习题5.2

xxx x xx yyyx x x x x x′′ ′ ′′ ′−+= − +=+ −+ += 所以 1 e, x y= 2 yx=都是方程的特解 . 又 2 1 x x yx x y ⋅ = =≠常数，故方程的通解为 12(　　)y 12 () CCx+ ，代入初始条件 00 |1,|2 xx yy == ′= =，得 12

4）的一个特解 1 1 y= . 要得到通解，还需再求一个与 1 y线性无关的特解 2 y，即需要求函数 2 y，使得 1 2 () yux= （()ux ≠常数）且 222 0ypyqy′′′++= ，其中 ()ux为待定函数 . 容易验证 ()ux x= 就是满足此要求的一个函数 . 因此， 1 2 yx= 是方程（ 4.4）的一个特解，且与 1 1 y= 线性无关，所以 1 12 () yCCx=+ 为齐次方程（ 4.4）的通解. （3）若 2 40pq−

5 0 2650(　　)⎪ −+=⎨ ⎪ −+= ⎩ , 从而求得

d u uy u u y + =+ + 即 2d 1 d u yu y =+ ，分离变量得 2 dd 1 uy yu = + ，两端积分得 2 ln( 1) ln lnuu y C++=+ ，即 2 1uu Cy++=，亦即 2 221Cyu y C + = ，将 x u y =代回，得 2 221x y CC =+ . 这是以Ox为轴，焦点在原点的抛物线，以这样的抛物线绕 x轴旋转一周，即得所需要的反射镜，故此抛物线即为所求 . 例2 一电路由电阻 R及电容C串联而成，接在电动势为 E的电源上（见图 5-2）. 开始时电容上没有电荷，电容两端的电压降为零 . 把开关K闭合，电流 I通过电阻 R对电容C充电，求电容上电压 C U随时间t变化的规律 () C Ut. 解依题意，设充电电流为 () IIt=，根据基尔霍夫定律，电路中的总电动势等于整个电路中的电压降，故在所给电路中，电阻 R上的电压降 Ri与电容C两端的电压降 C U之和等于电源电动势 1 1

），设M点的坐标为 (, )xy. 现在研究A点右边一部分绳索AM的情形，它在以下几个力的作用下平衡，这些力有：（1）A点处的张力 H（平行于 Ox轴）；（2）M点处的张力 T（T与弧段AM相切，设α为T的倾角）；（3）弧段AM的重力 sρ. 根据平衡条件，有 sin , cosTsTHαρα= =，从而有 tan s α=. 设 ρ =，又因为 tanyα′=，于是上式即 s y 1 s y ax ′′= 弧长的微分公式是 2(　　)

一质量为 m的潜水艇从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为 k），求潜水艇下降速度 x与时间t之间的函数关系 . 第六章向量代数与空间解析几何本章主要利用向量的概念及其运算，讨论空间的平面、直线、曲面及空间曲线，这些是学习多元函数微积分的基础 . 第一节向量及其运算一、向量的概念我们把既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量） . 例如，力、位移、速度、加速度，等等. 通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向 . 以 A （见图6-1），其长度表示向量的 A 大小，称为向量 A 的模，记作A ；点A到点B的方向为A 的方向. 印刷中常用一个黑体字母来表示向量，例如向量而认为该向量没有改变，因此通常也称之为自由向量 . 模等于零的向量称为零向量，记作 0或者意的 . 模等于1的向量称为单位向量，记作记作 =a 设有两个非零向量 a和 γγγ γγγ （见图6-2）. 称不超过 π的AOB∠ 为a与b的夹角，记作 m (,)a 向量，规定其夹角可以在 [0,π]上任意取值 . 图6-1 图6-2 如果两个向量的夹角为零或 π，就称这两个向量平行 . 向量a与b平行，记作 a∥ 平行的向量是共线的 . 若有n（ 3n≥）个向量，当通过平移使得它们有共同的起点，如果此时它们的终点与起点在同一平面内，则称这 n个向量共面 . 如果两个向量的夹角为 π 2 ，则称它们互相垂直，记作 ⊥a 行，又与任意向量垂直 . 高等数学 ·140· 二、向量的运算加法运算：设两个非零向量 a与b不平行，以 a与b为邻边作平行四边形，从二者公共起点出发并以此点为起点的对角线，即为二者的和，记为 =+cab（见图6-3 量和的方法称为平行四边形法则 . 设有a与连接 a的起点与 b的终点即得 =+ca 便地求多个向量的和 . 图6-3 零向量与任何向量 a的和还是 () ()++=+ +a 减法运算：向量 a与向量b的负向量 − b的和向量称为向量 a与b的差向量，记作 −ab（见图 6-4）. 特别地， 0 −=a ,,++−+abababab≤≤ 上面的两个不等式统称为三角不等式 . 数乘运算：设有向量 a和实数 λ，向量a和λ的乘积是一个向量，记作λ （2） λa与a平行，其方向为：当 0λ>时，与向量 a同向；当 0λ

向量的模与方向余弦设向量 (, ,) xyz= γγγγ OM OP OQ OR==++ , 由勾股定理有 222 OM OP OQ OR== + + . 由高等数学 ·144· OP x=i γγγ γJJ γγγ ,,.OP x OQ y OR z= == 于是得向量模的坐标表示式为 222 .xyz=++

3 4 (2,1,3) (1,1,3) (2,1,3) (2,1,3).(　　)

1 2 12 xxyyzz⋅= + +a cosθ ⋅ =(　　). 以数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式，就得

22 2 2 yz zx xy yz zx xy =++ ijk 111 222 xyz xyz = ijk 例2 设a(1,2,4),= = 计算×(　　)

22 2 2 yz zx xy xyz yz zx xy =++ 或 111 222 333 [] xyz xyz xyz =ab 设向量 ×ab与c之间的夹角 θ为锐角，现在来考察以 ,ab和c为棱的平行六面体 . 由于 () cos θ×⋅=×ab 而×ab等于由 ,ab所确定的平行四边形的面积，数 cosθ () cos θ×⋅=×ab 若×ab与c之间的夹角 θ为钝角，显然有 () cos θ−×⋅=× =ab 高等数学 ·150· 因此，此时的混合积 () cos θ×⋅=×ab 由向量混合积的几何意义，可以得到三向量 ,,abc共面的充要条件：向量 111 (, ,)xyz= (, ,)xyz= (, ,)xyz=c共面的充要条件为 []0=ab 111 222 333 xyz xyz xyz = . 例5 已知空间不共面的四点：

设向量 (3,9,2)k=− =−

1的函数结构图如下 . （4.1）式称为全导数公式 . （4.1）式可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形 . 例如，由 (,, )zfuvw= ， ()utϕ= ， ()vtψ= ， ()wtω= 复合而成的复合函数 [(), (), ()]zft t tϕψω= ，在与定理 4.1类似的条件下有全导数公式(　　)zzu zv zw tutvtwt ∂ ∂∂ =++ ∂∂∂ . （4.2）高等数学 ·182· 例1 设zuv=， u=， cosvt= ，求 z t . 解由全导数公式（ 4.1），有(　　)e(sin) e(cos sin ). t t zzu zv tutvt vu t tt ∂ ∂ =+ ∂∂ =+− =−