单选题 2 n − <++ + +" 1 1 33 2 n− =−< . 因此，数列 {} n x有界. 由定理4.3知，数列 {} n x存在极限，记这个极限为(　　)1 lim 1 n n→∞ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠. 可以进一步证明，当 x→+∞或x→−∞时，函数 1 1 x x ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ 的极限都存在且等于 1 lim 1 x x→∞ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠. （4.2） 若令 1 t x =，则当x→∞时， 0t→，这样（4.2）式又可以表示为 1 lim(1 ) t t → +=. 例5 求 2 1 lim1 x x x → ⎛⎞ −⎜⎟ ⎝⎠ ∞ . 第一章 函数、极限与连续 ·27· 解 1 lim1 x x x → ⎛⎞ −⎜⎟ ⎝⎠ ∞ 2 1 lim1 x x x − − → ⎡ ⎤ ⎛⎞ = +⎢ ⎥⎜⎟ −⎝⎠⎣ ⎦ ∞ 2 1 lim 1 1 x x x − → ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟= ⎜⎟ ⎛⎞ +⎜⎟⎜⎟ −⎝⎠⎝⎠ ∞ 2 1 例

单选题 2 1 sin(　　) lim 1 x x x → − = − （ ）. 1 2 − 1 2

单选题 反函数的连续性 定理6.2 如果函数 ()fx在区间 x I上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 ()xyφ= 也在对应的区间 { }(), yx Iyy 由该定理知道，反三角函数在各自的定义域内是连续的 . 前面已证得， lim xx xx(　　)=，因此 指数函数的反函数，即对数函数 lo yx= 在其定义域内也是连续的 .

单选题 1 设有数列 123 ,,,,, n xxx x"". 如果存在常数 ε（无论 它多么小），总存在正整数 N，只要nN>，对应的 n x就满足不等式 n xaε−

单选题 1,1, 1, , ( 1) , n+ −− −"" 有界，但它却不收敛 . 定理2.3 设有两个数列 {}{}, nn xy，lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，且ab时， nn xy ，仿照定理 2.1证明，存在正整数 N，当nN>时，下面两式同时成立 2 n ba xa − −< ， （2.3） 2 n ba ya − −< . （2.4） 利用（2.3）式可得 2 n ab x + < ，利用（2.4）式可得 2 n ab y + > . 因此，当 nN>时， nn xy，则必存在正整数 N，当nN>时，成立 0 n x>. 定理2.4 设有两个数列 {},{} nn xy，lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，且存在正整数 N，当nN>时， nn xy≥成立，则必有 ab≥. 用反证法结合定理 2.3容易证明该结论 . 推论 设有数列 {} n x，lim n n xa → = ∞ ，且从某项开始有 0 n x≥（ 0 n x≤），则必有 0a≥（ 0a≤）. 定理2.5 设数列{ }{}, nn xy都收敛，且 lim n n xa → = ∞ ，lim n n yb → = ∞ ，则有如下的运算法则成立： （1）lim( ) lim lim nn n n nnn （2）lim( ) lim lim （3）

单选题 0 111 lim lim lim 1 11 lim x x x x xx x x(　　)+ →→ → → ⎛⎞ ⎜⎟ ===⎜⎟ ⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ，由 于 此 时01 1 1 从 而由已证得的 1a>时的结论知， 1 lim 1 x x → ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ . 综上可得 lim 1 x x → =，其中 0a>，但 1 例7 证明： lim 1 x x → =，其中 0a>，但 1a≠. 证 此时 0x

单选题 0 11 lim lim lim 1 lim xt tt xt t t(　　)−+ + + − →→ → → = === . 注：例6和例7的证明过程中，处理 11 11 lim lim lim 11 lim tt xx t t t t(　　)+ + + + → → → → ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 时，利用了本 第一章 函数、极限与连续 ·19· 节后面的定理

单选题 6中（3）的结论. 例8 证明： lim x x xx(　　)=，其中 0a>，但 1a≠. 证 由上述两个例题知道， lim 1 x x =. 由于 ()

单选题 1,1, 1, , ( 1) , n+ −− −"" ； 都是数列，它们的一般项分别是 11 ,2 ,( 1) nnn n ++ −. 数列的概念实际上是整标函数的概念，即自变量取全体自然数，并按自然数的排列顺序 变化的一种特殊函数 (), 1,2,3, n xfnn== ". 在数轴上，数列 {} n x的每一项都有对应的点，因此数列 {} n x可看成数轴上的一个动点（见 图1-9）. 图1-9 和前面给出的近似圆的面积的问题类似， 对一般的数列 123 ,,,,, n xxx x""来说，如果当 n无 限增大时，对应数列的项 n x无限接近于某个确定的常数 一定义通常称为数列极限的描述性定义 . 例如，对数列 {} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ ，如果改写一下它的通项 11 1 n n x nn + = =+，可以很容易看出， 第一章 函数、极限与连续 ·11· 当 n不断增大时， 1 n 越来越小，从而 n x就越来越接近于常数 1. 即当 n无限增大时， n x无限接 近于常数 1. 那么，1就是当 n→∞时数列{} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 的极限. 又如数列 1 {( 1) } n n x + =− ，在 n→∞的过程中， n x反复地取值 1和1−，并不接近于某个确定的常数，因此数列 1 {( 1) } n n x + =− 没有极限. 但是，仅凭观察来判断一个数列是否存在极限是很有局限性的，对一些简单的数列可以 观察出其变化趋势，而对复杂的数列来说，仅凭观察很难判断出其准确的变化趋势 . 特别是在 进行极限问题的证明时，更不能以观察结果作为推理的依据 . 所以，有必要寻求精确的数学语 言对数列的极限加以定义 . 仍以数列 1 {} n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 为例来深入分析“当 n→∞时数列{} nx无限 接近于常数 a”的含义. 我们知道，任意一个实数都对应数轴上一个点 . 因此，两个 数 a与b就对应数轴上的两个点，记这两个点为 , AB（见 图1-10），数 a与b的接近程度就直接反映在了对应的两点 ,(　　)间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 ba−来衡量. ba−越小，对应点 ,AB之间的距离 就越小， a与b之间就越接近 . 这样，数列 {} 1 n n x n +⎧⎫ =⎨⎬ ⎩⎭ 无限地接近于 1，就意味着 1 n x−可以无限地变小 . “可以无限地 变小”指的就是小的程度没有任何限制，即无论要求 1 n x−多么小， 1 n x−就能变得那么小 . 由于 1 1 n x n−=，因此如果要求 1 1 10 n x −. 也就是说，从第 10