因式分解题库

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因式分解：（1）a2b﹣2ab2+ab；（2）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）. （2）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）＝2x（a﹣4）+（a﹣4）＝（a﹣4）（2x+1）.

分解因式：（1）﹣2x3+8xy2；（2）m（m﹣1）﹣4（1﹣m）2. ＝﹣2x（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式＝（m﹣1）[m﹣4（m﹣1）] ＝（m﹣1）（4﹣3m）.

阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等. 但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由. ＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y）＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y）＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）；（2）△ABC为等腰三角形. 理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0， ∵△ABC三边a、b、c都大于0， ∴a+b﹣c＞0. ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC为等腰三角形.

阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（（含图））2﹣（（含图））2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）. 根据以上材料，解答下列问题. （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长. ＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）；（2）设y＝x2+4x﹣3， y＝x2+4x+4﹣4﹣3， y＝（x+2）2﹣7， ∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7. （3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12.

把下列各题因式分解：（1）﹣4xy﹣x2﹣4y2；（2）4x（x﹣a）﹣2y（a﹣x）﹣6（x﹣a）. ＝﹣（4xy+x2+4y2）＝﹣（x+2y）2. （2）4x（x﹣a）﹣2y（a﹣x）﹣6（x﹣a）＝4x（x﹣a）+2y（x﹣a）﹣6（x﹣a）＝2（x﹣a）（2x+y﹣3）.

【数学实验探索活动】实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片. 实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径. 例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2. 探索问题：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内. （含图）（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），（含图）

我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 配方法是一种亚要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等. 例如：分解因式x2+2x﹣3. 原式＝(　　)﹣3＝(　　)2﹣4＝(　　)(　　)＝(　　)(　　). 求代数式2x2+4x﹣6的最小值.

x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝−1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）填空：x2+ +36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2﹣ ；（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（注意：用十字相乘法直接写出答案不给分）（3）当x＝时，多项式﹣x2﹣4x+1的最大值为. （2）x2﹣6x﹣27 ＝x2﹣6x+9﹣36 ＝（x﹣3）2﹣62 ＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（3）﹣x2﹣4x+1 ＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1 ＝﹣（x2+4x+4）+4+1 ＝﹣（x+2）2+5， ∵（x+2）2≥0， ∴﹣（x+2）2≤0，即﹣（x+2）2+5≤5，则当x＝﹣2时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，最大值为5.

“数形结合百般好”. 在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2. 请结合以上知识，解答下列问题：（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式；（2）根据图3得到的结论，解决下列问题：若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝19，求代数式a2+b2+c2的值；（3）小明同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值. （含图）（2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2，各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. ∵a+b+c＝8，ab+ac+bc＝19. ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝82，即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝64， ∴a2+b2+c2＝64﹣2×19＝26. （3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，小图形的面积分别为a2，b2，ab， ∴x＝12，y＝15，z＝28. ∴x+y+z＝12+15+28＝55.

把下列多项式分解因式：（1）x2﹣4xy+4y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）. （2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a﹣b）（a+b）.

【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法. 配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如：请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ . （2）利用上述方法进行因式分解：a2﹣10a+21. （3）求4x2+4x+5的最小值. （含图）（2）a2﹣10a+21 ＝a2﹣10a+25﹣4 ＝（a﹣5）2﹣4 ＝（a﹣5+2）（a﹣5﹣2）＝（a﹣3）（a﹣7）；（3）4x2+4x+5 ＝4x2+4x+1+4 ＝（2x+1）2+4， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+4≥4， ∴4x2+4x+5的最小值为4.

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等. ①分组分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）. ②拆项法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）. 仿照以上方法分解因式：（1）4x2+4x﹣y2+1；（2）x2﹣6x+8. ＝（4x2+4x+1）﹣y2 ＝（2x+1）2﹣y2 ＝（2x+1+y）（2x+1﹣y）. （2）x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+9﹣1 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）.

小福同学在课后探究学习中遇到题目分解因式：x（x+1）（x+2）（x+3）+1. 小福同学经过几次尝试后发现如下做法：因式分解：x（x+1）（x+2）（x+3）+1 解：原式＝[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1 ＝（x2+3x）（x2+3x+2）+1 设x2+3x＝M ∴原式＝M（M+2）+1 ＝M2+2M+1 ＝（M+1）2 ＝（x2+3x+1）2 小福和组内同学分享学习心得时总结：当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解. 另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式. 小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：（1）分解因式：（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+4）+9；（2）分解因式：（x﹣6）（x﹣2）（x+1）（x+3）+9x2. ＝[（x﹣1）（x+4）][（x+1）（x+2）]+9 ＝（x2+3x﹣4）（x2+3x+2）+9 设x2+3x＝M， ∴原式＝（M﹣4）（M+2）+9 ＝M2﹣2M﹣8+9 ＝M2﹣2M+1 ＝（M﹣1）2 ＝（x2+3x﹣1）2；（2）（x﹣6）（x﹣2）（x+1）（x+3）+9x2 ＝[（x﹣6）（x+1）][（x﹣2）（x+3）]+9x2 ＝（x2﹣5x﹣6）（x2+x﹣6）+9x2 设x2﹣6＝M， ∴原式＝（M﹣5x）（M+x）+9x2 ＝M2﹣5x2﹣4Mx+9x2 ＝M2﹣4Mx+4x2 ＝（M﹣2x）2 ＝（x2﹣6﹣2x）2 ＝（x2﹣2x﹣6）2.

因式分解：（1）ax2﹣2axy+ay2；（2）m2（x﹣2y）﹣n2（x﹣2y）. ＝a（x﹣y）2；（2）原式＝（x﹣2y）（m2﹣n2）＝（x﹣2y）（m+n）（m﹣n）.

阅读材料：由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）. 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）. 请用上述方法分解因式：（1）x2﹣3x﹣4；（2）x2﹣7x+12. ＝x2+（1﹣4）x+1×（﹣4）＝（x+1）（x﹣4）；（2）x2﹣7x+12 ＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）.

先阅读下列材料，再解决后面的问题：材料一：对于任何一个三位数，若满足各个数位上的数字均不为0且互不相等，若百位数字与十位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个三位数为“等差数”. 例如：246，2﹣4＝4﹣6，则246是“等差数”；材料二：如果将一个三位数的百位数字与个位数字交换得到一个新的三位数，则称新的三位数为原三位数的“交换数”. （1）写出大于300且小于400的所有“等差数”；（2）求证：任意一个“等差数”与它的“交换数”之和能被111整除. （2）设“等差数”为：100a+10b+c，其中a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b，则它的“交换数”为：100c+10b+a， ∴（100a+10b+c）+（100c+10b+a）＝101a+20b+101c ＝101×2b+20b ＝222b，所以：任意一个“等差数”与它的“交换数”之和能被111整除.

浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式. 再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等. 例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+（含图）有最小值，并求出这个最小值；（4）设a为实效，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+（含图）取得最小整数时，则a＝，b＝ . （2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17， ∴当a＝4时，﹣a2+8a+1的最大值是17. （3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+（含图）＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+（含图）＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+（含图）≥（含图）. 此时有：（含图），解得：（含图），所以当a＝﹣3，b＝﹣1时，这个最小值为（含图）. （4）（含图）或（含图）；1.