【a4留白-基础强化版】李林880数二强化篇做题本

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$$\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{e}^{\frac{\sin\frac{1}{x}}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^k-\left(1+\frac{1}{x}\right)}=a\neq0$$成立的充分必要条件是( ).

设$$a>0,\lim_{x \to \infty}x^a\ln\frac{\arctan(x+1)}{\arctan x}=b$$，则( ).

设当$$x \to 0$$时，$$\alpha(x)=\tan x-\sin x,\beta(x)=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2},\gamma(x)=\int_{0}^{1-\cos x}\sin tdt$$都是无穷小，将它们关于$$x$$的阶数从低到高排列，正确的顺序为( ).

当$$x \to 0$$时，$$(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^2[1-\ln(1+x)]$$是关于$$x$$的( ).

设$$y=y(x)$$是方程$$y''+2y'+y=\mathrm{e}^{3x}$$的解，且满足$$y(0)=y'(0)=0$$，则当$$x \to 0$$时，与$$y(x)$$为等价无穷小的是( ).

设$$F(x)=\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x\neq0,\\ f(0), & x=0,\end{cases}$$其中$$f(x)$$在$$x=0$$处可导，且$$f'(0)\neq0,f(0)=0$$，则( ).

设$$f(x)=\begin{cases}(x+1)\arctan\frac{1}{x^2-1}, & x\neq\pm1,\\ 0, & x=\pm1,\end{cases}$$则$$f(x)$$( ).

$$f(x)=\frac{x\ln|x|}{|x-1|}\mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$$的无穷间断点的个数为( ).

下列结论错误的是( ).

设$$\{x_n\}$$与$$\{y_n\}$$为两个数列，则下列说法正确的是( ).

设数列$$\{x_n\}$$单调减少，$$\{y_n\}$$单调增加，且$$\lim_{n \to \infty}(x_n-y_n)=0$$，则下列选项正确的是( ).

设正项数列$$\{x_n\},\{y_n\}$$满足$$\mathrm{e}^{x_n}=x_n+\mathrm{e}^{y_n}(n=1,2,\cdots)$$，且$$\lim_{n \to \infty}x_n=0$$，则当$$n \to \infty$$时，下列选项正确的是( ).

设正项数列$$\{x_n\},\{y_n\}$$满足$$e^{x_n}=x_n+e^{y_n}(n=1,2,\cdots)$$，且$$\lim_{n \to \infty}x_n=0$$，则当$$n \to \infty$$时，下列选项正确的是( ).

设$$f(n)$$表示方程$$x(1+\ln x)=n$$的正实根，其中$$x \geqslant 1,n$$为正整数，则下列选项正确的是( ).

设$$\{x_n\}$$为数列，则下列结论正确的是( ). ①若$$\{\arctan x_n\}$$收敛，则$$\{x_n\}$$收敛； ②若$$\{\arctan x_n\}$$单调，则$$\{x_n\}$$收敛； ③若$$x_n \in [-1,1]$$，且$$\{x_n\}$$收敛，则$$\{\arcsin x_n\}$$收敛； ④若$$x_n \in [-1,1]$$，且$$\{x_n\}$$单调，则$$\{\arcsin x_n\}$$收敛.

设正项数列$$\{x_n\}$$满足$$x_{n+1}<2-\frac{1}{x_n}(n=1,2,\cdots)$$，则( ).

下列极限存在的是( ).

设$$f(x)$$在$$(-\infty,+\infty)$$内为连续的奇函数，$$a$$为常数，则必为偶函数的是( ).

设$$f(x)=\lim_{t \to \infty}\frac{x+2^t}{1+2^t}$$，则$$F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)dt$$在$$x=0$$处( ).

设$$f(x)=\begin{cases}\frac{(x^3-1)\sin x}{|x|(1+x^2)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{cases}x \in (-\infty,+\infty)$$，则( ).