2026 微分方程与无穷级数复习测验题+答案

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方程$$y''+3xy=4\sin x$$是（）阶微分方程；方程$$3y''+2xy'-x^2=0$$是（）阶微分方程.

微分方程$$y'=\sin x$$的通解是（）.

方程$$xdy+(y+\sin x)dx=0$$是（）的微分方程；方程$$x^2dy+3ydx=0$$是（）的微分方程.

方程$$y'+xy=3$$是一阶（）微分方程.

微分方程$$y'+\cos x-1=0$$的通解是（）.

级数$$-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\cdots$$的通项$$u_n=$$（）.

级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2}{n^2}$$的第4项$$u_4=$$（），级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2}$$的第3项$$u_3=$$（）.

判断级数的敛散性：（1）级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$$是（）；（2）级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$$是（）；（3）级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$$是（）.（填“收敛”或“发散”）

若$$\lim_{n \to \infty}u_n \neq 0$$，则级数$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$$是（）.（填“收敛”或“发散”）

幂级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2n}$$的收敛域为（），幂级数$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$$的收敛半径R=（），幂级数$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$的收敛域是（）.

求微分方程$$y'=\frac{1}{x}+3$$满足初始条件$$y|_{x=1}=4$$的特解.

求微分方程$$\frac{dy}{dx}=3x^2-1$$的通解.

判断级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3^n}$$敛散性，若收敛，求其和.

判定级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$的敛散性.

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