一元线性回归模型--1-

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模型结构参数的普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性、有效性，随机干扰项方差的普通最小二乘估计量也是无偏的。（）

回归系数的显著性检验是用来检验解释变量对被解释变量有无显著解释能力的检验。（）

如果观测值$$X_i$$近似相等，也不会影响回归系数的估计量。（）

已知一模型的最小二乘的回归结果如下：$$\hat{Y}_i = 101.4 - 4.78X_i$$ 标准差(45.2)(1.53) $$n = 30$$ $$R^2 = 0.31$$ 其中：Y：政府债券价格（百美元），X：利率（%）。回答以下问题： (1) 系数的符号是否正确，并说明理由； (2) 为什么左边是$$\hat{Y}_i$$而不是$$Y_i$$ (3) 在此模型中是否漏了误差项$$\mu_i$$； (4) 该模型参数的经济意义是什么。

估计消费函数模型$$C_i = \alpha + \beta Y_i + \mu_i$$得$$\hat{C}_i = 15 - 0.81X_i$$ $$t$$值(13.1)(18.7) $$n = 19$$ $$R^2 = 0.81$$ 其中：C：消费（元），Y：收入（元）已知$$t_{0.025}(19) = 2.0930$$，$$t_{0.05}(19) = 1.729$$，$$t_{0.025}(17) = 2.1098$$，$$t_{0.05}(17) = 1.7396$$问： (1) 利用$$t$$值检验参数$$\beta$$的显著性（$$\alpha = 0.05$$）； (2) 确定参数$$\beta$$的标准差； (3) 判断一下该模型的拟合情况。（1分）

假设某国的货币供给量X与国民收入Y的历史如下表某国的货币供给量X与国民收入Y的历史数据 | 年份 | X | Y | 年份 | X | Y | 年份 | X | Y | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 1985 | 2.0 | 5.0 | 1989 | 3.3 | 7.2 | 1993 | 4.8 | 9.7 | | 1986 | 2.5 | 5.5 | 1990 | 4.0 | 7.2 | 1994 | 5.0 | 10.0 | | 1987 | 3.2 | 6 | 1991 | 4.2 | 8.4 | 1995 | 5.2 | 11.2 | | 1988 | 3.6 | 7 | 1992 | 4.6 | 9 | 1996 | 5.8 | 12.4 | 根据以上数据估计货币供给量X对国民收入Y的回归方程，利用Eviews软件输出结果为： Dependent Variable: Y Variable | Coefficie | Std. Error | t-Statistic | Prob. nt X | 1.968085 | 0.135252 | 14.55127 | 0.0000 C | 0.353191 | 0.562909 | 0.627440 | 0.5444 R-squared | 0.954902 | Mean dependent | 8.25833 var Adjusted | 0.950392 | S.D. dependent | 2.29285 R-squared | var | 8 S.E. of regression|0.510684 | F-statistic | 211.739 4 Sum squared | 2.607979 | Prob(F-statistic) | 0.00000 resid | 0 问：(1) 写出回归模型的方程式，并说明回归系数的显著性($$\alpha=0.05$$) 。 (2) 解释回归系数的含义。 (3) 如果希望1997年国民收入达到15，那么该货币供给量应该在什么水平？（1分） (缺图)

令Y表示一名妇女生育孩子的生育率，X表示该妇女接受教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \mu_i$$ (1) 随机干扰项包含什么样的因素?它们可能与教育水平相关吗? 收入、年龄、家庭状况、政府的相关法案等也是影响生育率的重要因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与受教育水平相关，如收入水平与教育水平往往正相关，年龄大小与教育水平呈负相关等。 (2) 上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗?请解释。当回归在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平x相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情况，基本假设3不满足。

为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项?（1分）

假设已经得到关系式$$Y = \beta_0 + \beta_1 X$$的最小二乘估计,试回答: (1) 假如设定X变量的单位扩大10倍,这样对原回归的斜率和截距会有什么样的影响?如果设定Y变量的单位扩大10倍,Y又会怎样? 设$$X^*$$为原变量X的单位扩大10倍后的变量,则有$$X^* = \frac{X}{10}$$ 代入$$Y = \beta_0 + \beta_1 X^*$$得 $$Y = \beta_0 + \beta_1 \frac{X}{10} = \beta_0 + \frac{\beta_1}{10}X$$ 可见,当被解释变量X的单位扩大10倍时,回归中的截距项不发生变化,但斜率将变为原回归系数的1/10。同理,设$$Y^*$$为原变量Y单位扩大10倍后的变量,则有$$Y^* = \frac{Y}{10}$$ 代入$$Y^* = \beta_0 + \beta_1 X^*$$得 $$Y^* = \beta_0 + \beta_1 X$$ 即 $$Y^* = \beta_0 + \beta_1 X$$ 可见,当被解释变量Y的单位扩大10倍时,回归中的截距项与斜率项均是原回归系数的10倍。 (2) 假定给X的每个观测值都增加2,对原回归的斜率和截距会有什么样的影响?如果给Y的每个观测值都增加2,又会怎样?（1分）设$$X^* = X + 2$$,则$$X = X^* - 2$$,代入$$Y = \beta_0 + \beta_1 X$$ 得 $$Y = \beta_0 + \beta_1(X^* - 2) = (\beta_0 - 2\beta_1) + \beta_1 X^*$$ 可见,当被解释变量的每个观测值均增加2个单位时,回归的斜率不会发生变化,但截距项由原来的$$\beta_0$$变为$$\beta_0 - 2\beta_1$$ 同理,可设$$Y^* = Y + 2$$,则$$Y = Y^* - 2$$。代入$$Y = \beta_0 + \beta_1 X$$ 得 $$Y^* - 2 = \beta_0 + \beta_1 X$$ 即 $$Y^* = \beta_0 + 2 + \beta_1 X$$ 可见,当被解释变量的每个观测值均增加2个单位时,回归的斜率仍不发生变化,但截距项由$$\beta_0$$变为$$\beta_0 + 2$$，也就是回归直线向上平移了2个单位。

98.令Y表示一名妇女生育孩子的生育率，X表示该妇女接受教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为$$Y=\beta_0+\beta_1X+\mu$$ (1) 随机干扰项包含什么样的因素?它们可能与教育水平相关吗? 收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与受教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关，年龄大小与教育水平呈负相关等。 (2) 上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗?请解释。当回归在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平x相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设3不满足。

99. 为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项? 计量经济学所研究的变量是具有因果关系的随机变量,变量之间是相关关系,而非确定的函数关系,作为被解释的变量除了受解释变量的影响之外,还受到其他各种因素的影响,而在一个回归模型中,不可能反映所有的对被解释变量有影响的因素,因而理论模型就要有一个变量来代表那些所有无法在模型中列出来且对被解释变量有影响的随机变量,这个变量就是随机干扰项。

101. 下列计量经济学方程哪些是正确的?哪些是错误的?为什么? (1)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (2)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (3)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (4)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (5)$$Y_t = a + bX_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (6)$$Y_t = a + bX_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (7)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$； (8)$$Y_t = a + bX_t + \mu_t$$，$$t=1,2,\dots,n$$；其中带"∧"者表示"估计值"。计量经济学的回归分析中,注意区分以下四个式子: (1)总体回归模型: $$Y_t = \beta_0 + \beta_1X_t + \mu_t$$ (2)总体回归方程: $$E(Y_t|X_t) = \beta_0 + \beta_1X_t$$ (3)样本回归①归模型:$$\hat{Y}_t = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1X_t + \hat{\mu}_t$$ (4)样本回归方程: $$\hat{Y}_t = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1X_t$$ 其中残差可以表示为$$\hat{\mu}_t$$。除了这几个式子外,其他表示均是错误的。因此有如下结果:(1)错误;(2)正确;(3)错误;(4)错误;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)错误。

103. 为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项? 计量经济学所研究的变量是具有因果关系的随机变量,变量之间是相关关系,而非确定的函数关系,作为被解释的变量除了受解释变量的影响之外,还受到其他各种因素的影响,而在一个回归模型中,不可能反映所有的对被解释变量有影响的因素,因而理论模型就要求有一个变量来代表那些所有无法在模型中列出来且对被解释变量有影响的随机变量,这个变量就是随机干扰项。

105. 假定有如下的回归结果 $$\hat{Y}_t = 2.6911 - 0.4795X_t$$ 其中Y表示美国的咖啡消费量(每天每人消费的杯数),X表示咖啡的零售价格(单位:美元/杯),t表示时间。问: (1)这是一个时间序列回归还是横截面序列回归? 这是一个时间序列回归 (2)如何解释截距的意义?它有没有含义吗?如何解释斜率? 截距2.6911表示咖啡零售价格在每杯0美元时,美国平均咖啡消费量为每天每人2.6911杯,这个数字没有明显的经济意义;斜率-0.4795表示咖啡零售价与消费量负相关,表明咖啡价格每上升1美元,则平均每天每人消费量减少0.4795杯,即约半杯。 (3)你能求出真实的总体回归函数吗? 不能。原因在于要了解全国所有人的咖啡消费情况几乎是可能的。 (4)根据需求的价格弹性定义:弹性=斜率×X/Y,依据上述回归结果,你能求出对咖啡需求的价格弹性吗?如果不能,计算此弹性还需要其他什么信息? 不能。在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同,若要求价格弹性,须给出具体的X值及与之对应的Y值。

109. 对于人均存款与人均收入之间的关系式$$S_t = \alpha + \beta Y_t + \mu_t$$，使用某年某国36个城市的年度数据，得到如下估计模型(括号内为标准差): $$S_t = 384.105 + 0.067Y_t$$ (151.105) (0.011) $$R^2 = 0.538$$ (1) $$\beta$$的经济解释是什么? $$\beta$$为收入的边际储蓄倾向,表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。 (2) $$\alpha$$和$$\beta$$的符号是什么?为什么?实际的符号与你的直觉致吗?如果有冲突的话,你可以给出可能的原因吗? 由于收入为零时,家庭仍会有支出,可预期零收入时的平均储蓄为负,因此$$\alpha$$符号应为负。储蓄是收入的一部分,且会随着收入的增加而增加,因此预期$$\beta$$的符号为正。实际的回归式中,$$\beta$$的符号为正,与预期的一致。但截距项为正,与预期不符。这可能是错误的模型设定造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄行为,省略该变量将对截距项的估计产生了影响;另外线性设定可能不正确。 (3) 你对拟合优度有什么看法吗? 拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度,表明收入的变化可以解释储蓄中53.8%的变动。

现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：$$r_{i}=\beta_{0i}+\beta_{1i}r_{mkt}+H_{i}$$；其中：r表示股票或债券的收益率；r表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；t表示时间。在投资分析中，$$\beta_{1}$$被称为债券的安全系数，$$\beta_{0}$$是用来度量市场的风险程度的，即市场的发展对公司的财产有何影响。依据1956-1976年间240个月的数据，Fogler和Ganpathy得到IBM股票的回归方程（括号内为标准差），市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数。 $$\hat{r}_{i}=0.7264 + 1.0598r_{mkt}$$ (0.3001) (0.0728) $$R^{2}=0.4710$$ 要求： (1) 解释回归参数的意义； (2) 如何解释$$R^{2}$$？ (3) 安全系数$$\beta_{1}$$的证券称为不稳定证券。建立适当的零假设及备择假设，并用t检验进行检验（$$\alpha=5\%$$）。

下表是1989-2003年我国的城镇居民家庭人均可支配收入(元)x与城市人均住宅建筑面积(平方米)y的统计资料：城镇居民家庭人均可支配收入与城市人均住宅建筑面积的数据 | x | y | |---|---| | 1989 | 1373.9 | 13.45 | | 1990 | 1510.2 | 13.65 | | 1991 | 1700.6 | 14.17 | | 1992 | 2026.6 | 14.79 | | 1993 | 2577.4 | 15.23 | | 1994 | 3496.2 | 15.69 | | 1995 | 4283 | 16.29 | | 1996 | 4838.9 | 17.03 | | 1997 | 5160.3 | 17.78 | | 1998 | 5425.1 | 18.66 | | 1999 | 5854.02 | 19.42 | | 2000 | 6280 | 20.25 | | 2001 | 6859.6 | 20.8 | | 2002 | 7702.8 | 22.79 | | 2003 | 8472.2 | 23.7 | 资料来源:《中国统计年鉴2004》,中国统计出版社 Eviews 的运行结果见下表: Dependent Variable:Y Method:Least Squares Date:04/21/06Time:17:46 Sample:19892003 Included observations:15 | Variable | Coefficient | Std.Error | t-Statistic | Prob. | |---|---|---|---|---| | C | 11.33492 | 0.346479 | 32.71464 | 0.0000 | | X | 0.001387 | 6.89E-05 | 20.13481 | 0.0000 | R-squared 0.968930 Mean dependent var 17.58000 AdjustedR-squared 0.966540 S.D.dependent var 3.269589 S.E.ofregression 0.598075 Akaike info criterion 1.933365 Sum square dresid 4.650022 Schwarz criterion 2.027772 Log likelihood -12.50024 F-statistic 405.4107 Durbin-Watson stat 0.495495 Prob(F-statistic) 0.000000 (1) 做出散点图,根据回归结果建立城市人均住宅建筑面积随城镇居民家庭人均可支配收入的一元线性回归模型,并解释斜率系数的经济意义； (2)对所建立的回归模型进行检验； (3) 若2004年的城镇居民家庭人均可支配收入为9000元,计算2004年的城市人均住宅建筑面积预测值。 (缺图)

卫生部门想要调查孕妇吸烟对婴儿健康的影响。模型设定如下： $$bweight=\beta_{0}+\beta_{1}cigs+\mu$$ 其中,bweight 表示婴儿体重(重),作为婴儿健康的替代变量;cigs表示孕妇每天吸烟的数量(只)。利用调查的1338个样本回归上述模型,估计结果如下： $$bweight=119.77 - 0.514cigs$$ (1) 当cigs=0时,婴儿的预测出生体重为多少?当cigs=20(每天一包)时呢?评价其差异 (2) 当cigs=0时,婴儿的预测为119.77 盎司;当 cigs=20(每天一包)时,婴儿的预测出生体重为 109.49(=119.77 - 0.514*20)盎司。显然,当母亲在怀孕期间每天吸一包烟时,其婴儿出生时的体重会比不吸烟时平均轻 10.28 盎司。 (3) 这个简单回归能够得到婴儿出生体重与母亲吸烟习惯之间的关系吗?解释之 (4) 这个简单的回归是从一个足够大的样本(n=1338)回归得到的,因而大致可以得出婴儿出生体重与母亲吸烟习惯之间的关系,即母亲吸烟会导致婴儿出生时体重下降。但是,能否确定这种关系,需要对回归参数的显著性进行检验。 (缺图)

下表1989-2003年我国的财政收入Y(亿元)与国民生产总值x(亿元)的统计资料： | Y | x | |---|---| | 1989 | 2664.9 | 16917.8 | | 1990 | 2937.1 | 18598.4 | | 1991 | 3149.48 | 21662.5 | | 1992 | 3483.37 | 26651.9 | | 1993 | 4348.95 | 34560.5 | | 1994 | 5218.1 | 46670 | | 1995 | 6242.2 | 57494.9 | | 1996 | 7407.99 | 66850.5 | | 1997 | 8651.14 | 73142.7 | | 1998 | 9875.95 | 76967.2 | | 1999 | 11444.08 | 80579.36 | | 2000 | 13395.23 | 88254 | | 2001 | 16386.04 | 95727.85 | | 2002 | 18903.64 | 103935.33 | | 2003 | 21715.25 | 116603.2 | 资料来源:《中国统计年鉴2004》,中国统计出版社 Eviews 的运行结果见下表: Dependent Variable:Y Method:Least Squares Date:04/12/06Time:18:35 Sample:19892003 Included observations:15 | Variable | Coefficient | Std.Error | t-Statistic | Prob. | |---|---|---|---|---| | C | -1975.725 | 1051.002 | -1.879849 | 0.0827 | | X | 0.178950 | 0.015162 | 11.80269 | 0.0000 | R-squared 0.914644 Mean dependent var 9054.941 AdjustedR-squared 0.908078 S.D.dependent var 6141.616 S.E.ofregression 1862.051 Akaike info criterion 18.02031 Sum square dresid 45074049 Schwarz criterion 18.11472 Log likelihood -133.1523 F-statistic 139.3036 Durbin-Watsonstat 0.202418 Prob(F-statistic) 0.000000 (1) 做出散点图,根据软件结果建立财政收入随GDP变化的一元线性回归模型,并解释斜率系数的经济意义； (2) 对所建立的回归模型进行检验； (3) 若2004年的GDP为25000亿元,计算2004年财政收入的预测值。（含图）（含图）

假设某人通过一容量为19的样本估计了消费函数$$C = \alpha + \beta Y_t + u_t$$,并获得下列结果: (3.1) (18.7) $$\hat{R}^2 = 0$$. (1) 利用t值检验假设$$\beta = 0$$(取显著水平为5%)。 (2) 确定参数估计量的标准差 (3) 构造$$\beta$$的95%的置信区间,这个区间包括0吗？