【小林老师】高中数学知识点

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化简$$\sin50^\circ(1+\sqrt{3}\tan10^\circ)=$$______；$$\tan\alpha-\cot\alpha=$$______；

正弦定理：在$$\triangle ABC$$中，$$a$$、$$b$$、$$c$$分别为角$$A$$、$$B$$、$$C$$的对边，则有$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$（$$R$$为$$\triangle ABC$$的外接圆的半径），正弦定理的变形公式：①$$a=$$______，$$b=$$______，$$c=$$______；②$$\sin A=$$______，$$\sin B=$$______，$$\sin C=$$______；③$$a:b:c=$$______；

三角形面积公式：$$S_{\triangle ABC}=$$______$$=$$______$$=$$______；

余弦定理：在$$\triangle ABC$$中，有$$a^2=$$______，推论：$$\cos A=$$______；

数列中$$a_n$$与$$S_n$$之间的关系：$$a_n=\begin{cases} S_1, & (n=1) \\ S_n-S_{n-1}, & (n\geq2) \end{cases}$$ 注意通项能否合并。

等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即$$a_n - a_{n-1}=d$$，（$$n\geq2$$，$$n\in\mathbb{N}^+$$），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数$$a$$、$$A$$、$$b$$成等差数列$$\Leftrightarrow$$______；⑶通项公式：$$a_n=$$______$$=$$______ 或$$a_n=pn+q$$（$$p$$、$$q$$是常数）。⑷前$$n$$项和公式：$$S_n=$$______$$=$$______；⑸常用性质：①若$$m+n=p+q$$（$$m,n,p,q\in\mathbb{N}_+$$），则$$a_m + a_n=$$______；②下标为等差数列的项$$(a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\cdots)$$，仍组成等差数列；③数列$$\{\lambda a_n + b\}$$（$$\lambda,b$$为常数）仍为等差数列；④若$$\{a_n\}$$、$$\{b_n\}$$是等差数列，则$$\{k a_n\}$$、$$\{k a_n + p b_n\}$$（$$k$$、$$p$$是非零常数）、$$\{a_{p+nq}\}(p,q\in\mathbb{N}^*)$$、…也成等差数列。⑤单调性：$$\{a_n\}$$的公差为$$d$$，则：ⅰ）$$d>0\Leftrightarrow\{a_n\}$$为______数列；ⅱ）$$d<0\Leftrightarrow\{a_n\}$$为______数列；ⅲ）$$d=0\Leftrightarrow\{a_n\}$$为______数列；⑥数列$$\{a_n\}$$为等差数列$$\Leftrightarrow a_n=pn+q$$（$$p,q$$是常数）⑦若等差数列$$\{a_n\}$$的前$$n$$项和$$S_n$$，则$$S_k$$、$$S_{2k}-S_k$$、$$S_{3k}-S_{2k}$$ … 是______数列。

等比数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数$$a$$、$$G$$、$$b$$成等比数列$$\Rightarrow$$______，（$$ab$$同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：$$a_n=$$______$$=$$______；⑷前$$n$$项和公式：$$S_n=$$______$$=$$______（$$q\neq1$$）；⑸常用性质①若$$m+n=p+q$$（$$m,n,p,q\in\mathbb{N}_+$$），则$$a_m \cdot a_n=$$______；②$$a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\cdots$$为等比数列，公比为$$q^k$$（下标成等差数列,则对应的项成等比数列）③数列$$\{\lambda a_n\}$$（$$\lambda$$为不等于零的常数）仍是公比为$$q$$的等比数列；正项等比数列$$\{a_n\}$$：则$$\{\lg a_n\}$$是公差为$$\lg q$$的______数列；④若$$\{a_n\}$$是等比数列，则$$\{c a_n\}$$，$$\{a_n^2\}$$，$$\{\frac{1}{a_n}\}$$，$$\{a_n^r\}(r\in\mathbb{Z})$$是等比数列，公比依次是$$q$$，$$q^2$$，$$\frac{1}{q}$$，$$q^r$$。⑤单调性：$$a_1>0,q>1$$或$$a_1<0,00,01\Rightarrow\{a_n\}$$为______数列；$$q=1\Rightarrow\{a_n\}$$为常数列；$$q<0\Rightarrow\{a_n\}$$为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列$$\{a_n\}$$的前$$n$$项和$$S_n$$，则$$S_k$$、$$S_{2k}-S_k$$、$$S_{3k}-S_{2k}$$ … 是______数列。

非等差､等比数列通项公式的求法类型Ⅲ 累加法：形如$$a_{n+1}=a_n + f(n)$$型的递推数列（其中$$f(n)$$是关于$$n$$的函数）可构造：$$\begin{cases} a_n - a_{n-1}=f(n-1) \\ a_{n-1} - a_{n-2}=f(n-2) \\ \cdots \\ a_2 - a_1=f(1) \end{cases}$$ 将上述$$n-1$$个式子两边分别相加，可得：$$a_n=$$______$$(n\geq2)$$ 类型Ⅳ 累乘法：形如$$a_{n+1}=a_n \cdot f(n)$$（$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$$）型的递推数列（其中$$f(n)$$是关于$$n$$的函数）可构造：$$\begin{cases} \frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n-1) \\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=f(n-2) \\ \cdots \\ \frac{a_2}{a_1}=f(1) \end{cases}$$ 将上述$$n-1$$个式子两边分别相乘，可得：$$a_n=$$______$$(n\geq2)$$ 类型Ⅴ 构造数列法：㈠形如$$a_{n+1}=p a_n + q$$（其中$$p,q$$均为常数且$$p\neq0$$）型的递推式：法一：设$$a_{n+1}+\lambda = p(a_n + \lambda)$$，展开移项整理得$$a_{n+1}=p a_n + (p-1)\lambda$$，与题设$$a_{n+1}=p a_n + q$$比较系数（待定系数法）得$$\lambda=$$______$$(p\neq0)$$

函数的极限定理：$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$$的充要条件是______。

函数的夹逼性定理：如果函数$$f(x), g(x), h(x)$$在点$$x_0$$的附近满足$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$且$$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = a$$（常数），则$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = $$______。

几个常用极限：$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = $$______；$$\lim\limits_{n \to \infty} a^n = 0$$（______）；$$\lim\limits_{x \to x_0} x = $$______；$$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{x} = $$______。

两个重要的极限：$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = $$______；$$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = $$______（其中$$e \approx 2.718281845\cdots$$）。

函数极限的四则运算法则：若$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$$，$$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$$，则$$\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = $$______；$$\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = $$______；$$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = $$______（$$b \neq 0$$）。

数列极限的四则运算法则：若$$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$$，$$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$$，则$$\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = $$______；$$\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = $$______；$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = $$______（$$b \neq 0$$）；$$\lim\limits_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = $$______（$$c$$是常数）。

函数$$f(x)$$在$$x_0$$处的导数（或变化率或微商）定义为$$f'(x_0) = y'|_{x=x_0} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} $$______。

瞬时速度的定义：$$v = s'(t) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} $$______。

瞬时加速度的定义：$$a = v'(t) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} $$______。

函数$$f(x)$$在$$(a,b)$$内的导数定义为$$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} $$______。

函数$$y = f(x)$$在点$$x_0$$处的导数的几何意义：函数$$y = f(x)$$在点$$x_0$$处的导数是曲线$$y = f(x)$$在$$P(x_0, f(x_0))$$处的切线的斜率______，相应的切线方程是$$y - y_0 = $$______。

几种常见函数的导数：$$C' = $$______（$$C$$为常数）；$$(x^n)' = $$______（$$n \in \mathbb{Q}$$）；$$(\sin x)' = $$______；$$(\cos x)' = $$______；$$(\ln x)' = $$______；$$(\log_a x)' = $$______；$$(e^x)' = $$______；$$(a^x)' = $$______。