实变函数-题库 (1)

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3. 设$$E_3$$是函数$y=\begin{cases}\sin\dfrac{1}{x},&\text{当}x\neq0,\\ 0,&\text{当}x=0\end{cases}$的图形上的点所组成的集合，求在$$\mathbb{R}^2$$内的$$E_3',\overset{\circ}{E_3},\overline{E_3}$$

点集$$F$$为闭集的充要条件是$$\overline{F}=F$$

设$$G_1,G_2$$是$$\mathbb{R}^n$$中互不相交的开集，证明:$$\overline{G_1}\cap G_2=\varnothing$$

设$$E\subset\mathbb{R}^n$$,证明: (1) $$(\overset{\circ}{E})^c=\overline{E^c}$$; (2) $$(\overline{E})^c=\overset{\circ}{E^c}.$$

设$$E\subset\mathbb{R}^n$$.若$$m^*E=0$$,证明:$$E$$可测

设$$E\subset R^n$$，若$$m^*E = 0$$，证明：$$E$$可测。

可数点集的外测度为零。

若$$E$$可测，则$$\forall\varepsilon>0$$，存在开集$$G$$，使得$$E\subset G$$且$$m(G - E)<\varepsilon$$。

设$$E\subset R^n$$，若$$\forall\varepsilon>0$$，$$\exists$$开集$$G$$，使得$$E\subset G$$且$$m^*(G - E)<\varepsilon$$，则$$E$$是可测集。

若$$\inf\{m(G):G$$是开集，$$E\subset G\}=\sup\{m(K):K$$是紧集，$$K\subset E\}$$，其中$$E$$为有界集，证明$$E$$可测。

外测度具有非负性、半次可加性和______.

设$$E$$为$$\mathbf{R}^n$$中的点集，如果对任一点集$$T$$都有______，则称$$E$$是L可测的.

设$$\{S_i\}$$是一列递增的可测集合$$S_1\subset S_2\subset\cdots\subset S_n\subset\cdots$$，则$$\lim\limits_{n \to \infty}mS_n$$=______.

若$$m(A\cup B)=m(A)+m(B)$$，则A与B的交集的测度$$m(A\cap B)=$$______.

外测度具有次可列可加性，即若$$\{A_n\}$$为测集，则$$m(\bigcup_{i = 1}^{\infty}A_i)\leq\sum_{i = 1}^{\infty}m^*A_i$$.

证明：由条件，$$m(E[|f_n| = \infty]) = 0$$（$$n = 1,2,\cdots$$）；$$m(E[|f| = \infty]) = 0$$。因此得$$E_0$$，其中$$E_0 = \bigcup_{n = 1}^{\infty}E[|f_n| = +\infty]\cup E[|f| = +\infty]$$。用$$E\setminus E_0$$替代$$E$$，不妨设$$f_n(x),f(x)$$都是有限函数，且$$\lim\limits_{n \to \infty}(f_n(x)-f(x)) = 0$$在$$E\setminus E_0$$上处处成立。由第一章§5（2）式，在$$E$$上$$f_n(x)$$不收敛于$$f(x)$$的点集$$E[\lim\limits_{n \to \infty}(f_n-f)\neq0$$或极限不存在$$]=\bigcup_{k = 1}^{\infty}\bigcap_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{l = n}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]$$。由假定$$m(E[(f_n-f)$$不收敛于0$$]) = 0$$，因此对任意固定的$$k$$，$$m(\bigcap_{N = 1}^{\infty}\bigcup_{n = N}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]) = 0$$。由于$$\bigcup_{n = N}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]\supset\bigcup_{n = N + 1}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]$$，$$k = 1,2,\cdots$$，而$$mE<\infty$$，因此由第三章§2定理9，$$\lim\limits_{N \to \infty}m(\bigcup_{n = N}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]) = m(\bigcap_{N = 1}^{\infty}\bigcup_{n = N}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]) = 0$$。于是对任意$$\delta>0$$和任意正整数$$k$$，存在$$N_k$$，使$$m(\bigcup_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}])<\frac{\delta}{2^k}$$。令$$E_\delta = \bigcap_{k = 1}^{\infty}\bigcap_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|<\frac{1}{k}]$$。下证$$E_\delta$$满足定理要求的结论。由于$$E\setminus E_\delta = E\setminus\bigcap_{k = 1}^{\infty}\bigcap_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|<\frac{1}{k}] = \bigcup_{k = 1}^{\infty}\bigcup_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}]$$，因此$$m(E\setminus E_\delta)\leqslant\sum_{k = 1}^{\infty}m(\bigcup_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|\geqslant\frac{1}{k}])<\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\delta}{2^k} = \delta$$。为证$$f_n(x)$$在$$E_\delta$$上一致收敛于$$f(x)$$，任取$$\varepsilon>0$$，存在$$k$$，使$$\frac{1}{k}<\varepsilon$$，令$$N = N_k$$。由于$$E_\delta\subset\bigcap_{n = N_k}^{\infty}E[|f_n-f|<\frac{1}{k}]$$，因此，对任意$$n\geqslant N$$，且对任意$$x\in E_\delta$$，$$|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{k}<\varepsilon$$成立，这就证明了$$|f_n(x)|$$在$$E_\delta$$上一致收敛于$$f(x)$$。

依测度收敛的判定定理

卢津（Luzin）定理）设$$f(x)$$是$$E$$上a.e.有限的可测函数，则对任意存在闭子集$$F_{\delta}\subset E$$，使$$f(x)$$在$$F_{\delta}$$上是连续函数，且$$m(E\backslash F_{\delta})<\delta$$。

证明我们从特殊到一般分三种情形来讨论。（1）简单函数情形设$$E=\bigcup_{i = 1}^{n}E_{i}$$，各$$E_{i}$$可测、互不相交，且$$f(x)=c_{i}$$当$$x\in E_{i}$$，$$i = 1,2,\cdots,n$$。对于$$\delta$$，由于$$E_{i}$$是可测集，从而可知存在闭子集$$F_{i}\subset E_{i}$$，且$$m(E_{i}\backslash F_{i})<\frac{\delta}{n}$$。令$$F_{\delta}=\bigcup_{i = 1}^{n}F_{i}$$，则$$F_{\delta}$$是闭集且$$m(E\backslash F_{\delta})<\delta$$。易证$$f(x)$$限制在$$F_{\delta}$$上是连续函数。（2）有界可测情形若$$f(x)$$有界，则由§1定理7，存在可测简单函数列$$\{\varphi_{k}(x)\}$$，使得$$|\varphi_{k}(x)|$$有一致收敛于$$f(x)$$。对任意$$\delta>0$$，由（1），存在闭集$$F_{k}\subset E$$，$$m(E\backslash F_{k})<\frac{\delta}{2^{k}}$$，使得$$\varphi_{k}(x)$$在$$F_{\delta}$$上连续。令$$F_{\delta}=\bigcap_{k = 1}^{\infty}F_{k}$$，则$$F_{\delta}$$为闭集且 $$m(E\backslash F_{\delta})=m\bigg(E\backslash\bigcap_{k = 1}^{\infty}F_{k}\bigg)=m\bigg(\bigcup_{k = 1}^{\infty}(E\backslash F_{k})\bigg)\leqslant\sum_{k = 1}^{\infty}m(E\backslash F_{k})<\delta$$。由于$$\varphi_{k}(x)$$在$$F_{\delta}$$上连续，且一致收敛于$$f(x)$$，因此$$f(x)$$在$$F_{\delta}$$上连续（证明上的相同）。（3）一般的可测函数情形由于$$m(E[|f| = \infty]) = 0$$，不妨设$$f(x)$$是$$E$$上有界函数。设$$g(x)=\frac{f(x)}{1 + |f(x)|}$$，$$x\in E$$，则$$g(x)$$在$$E$$上有界可测。由（2），存在闭集$$F_{\delta}\subset E$$，$$m(E\backslash F_{\delta})<\delta$$，使得$$g(x)$$在$$F_{\delta}$$上连续。因为$$f(x)=\frac{g(x)}{1 - |g(x)|}$$，$$|g(x)|<1$$，所以$$f(x)$$在$$F_{\delta}$$上连续。

里斯（Riesz）定理）设在$$E$$上$$|f_{n}|$$依测度收敛于$$f$$，则存在子列$$\{f_{n_{k}}\}$$在$$E$$上a.e.收敛于$$f$$。