2_2025年新课标全国Ⅰ卷数学真题-解析版

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$$(1 + 5i)i$$的虚部为（）

设全集$$U = \{x|x$$是小于$$9$$的正整数$$\}$$，集合$$A = \{1,3,5\}$$，则$$\complement_U A$$中元素个数为（）

若双曲线$$C$$的虚轴长为实轴长的$$\sqrt{7}$$倍，则$$C$$的离心率为（）

若点$$(a,0)(a > 0)$$是函数$$y = 2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$的图象的一个对称中心，则$$a$$的最小值为（）

设$$f(x)$$是定义在$$\mathbb{R}$$上且周期为$$2$$的偶函数，当$$2 \leq x \leq 3$$时，$$f(x) = 5 - 2x$$，则$$f(-\frac{3}{4}) = （）$$

帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（） (缺图)

若圆$$x^2 + (y + 2)^2 = r^2(r > 0)$$上到直线$$y = \sqrt{3}x + 2$$的距离为$$1$$的点有且仅有$$2$$个，则$$r$$的取值范围是（）

若实数$$x$$，$$y$$，$$z$$满足$$2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z$$，则$$x$$，$$y$$，$$z$$的大小关系不可能是（）

在正三棱柱$$ABC - A_1B_1C_1$$中，D为BC中点，则（）

设抛物线$$C:y^2 = 6x$$的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于$$AB$$的直线交$$l:x = -\frac{3}{2}$$于E，过点A作准线$$l$$的垂线，垂足为D，则（）

已知$$\triangle ABC$$的面积为$$\frac{1}{4}$$，若$$\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2$$，$$\cos A\cos B\sin C = \frac{1}{4}$$，则（）

若直线$$y = 2x + 5$$是曲线$$y = e^x + x + a$$的切线，则$$a =$$____.

若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为____.

一个箱子里有5个相同的球，分别以1 - 5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数$$X$$，则数学期望$$E(X) =$$____.

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： | 组别 | 超声波检查结果 | 正常 | 不正常 | 合计 | |------|----------------|------|--------|------| | 患该疾病 | | 20 | 180 | 200 | | 未患该疾病 | | 780 | 20 | 800 | | 合计 | | 800 | 200 | 1000 |

设数列$$\{a_n\}$$满足$$a_1 = 3$$，$$\frac{a_{n + 1}}{n}=\frac{a_n}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}$$

如图所示的四棱锥$$P - ABCD$$中，$$PA\perp$$平面$$ABCD$$，$$BC\parallel AD$$，$$AB\perp AD$$.

设椭圆$$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$的离心率为$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$，下顶点为A，右顶点为B，$$|AB|=\sqrt{10}$$. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足$$|AR|\cdot|AP|=3$$. (i)设$$P(m,n)$$，求点R的坐标（用m，n表示）； (ii)设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求$$|PM|$$的最大值.

设函数$$f(x)=5\cos x - \cos 5x$$. (1) 求$$f(x)$$在$$\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$$的最大值； (2) 给定$$\theta\in(0,\pi)$$，设$$a$$为实数，证明：存在$$y\in[a - \theta,a + \theta]$$，使得$$\cos y\leq\cos\theta$$； (3) 若存在$$\varphi$$使得对任意$$x$$，都有$$5\cos x - \cos(5x + \varphi)\leq b$$，求$$b$$的最小值.

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